2．求二面角的方法是：

①找(或作)平面角，②用射影法: cosθ=；

③用異面直線上兩點間距離公式.

1.注意線線垂直、線面垂直、面面垂直之間的轉(zhuǎn)化和應(yīng)用.

[例1] 如下圖，在三棱錐S-ABC中，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC.

(1)求證：AB⊥BC；

(2)若設(shè)二面角S-BC-A為45°，SA=BC，求二面角A-SC-B的大小.

證明(1)：作AH⊥SB于H，

　∵平面SAB⊥平面SBC，

　∴AH⊥平面SBC.　 ，又SA⊥平面ABC，　

　∴SA⊥BC.SA∩SB=S，

∴BC⊥平面SAB.　 ∴BC⊥AB.

解(2)：∵SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC.

∴平面SAB⊥BC，∠SBA為二面角S-BC-A的平面角.

∴∠SBA=45°.設(shè)SA=AB=BC=a.作AE⊥SC于E，連結(jié)EH.

由(1)知AH⊥平面SBC, ∴AE在面SBC內(nèi)的射影EH⊥SC，∠AEH為二面角A-SC-B的平面角，

AH=a，AC=a，SC=a，AE=a，

∴sin∠AEH=，二面角A-SC-B為60°.

[例2] 已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，若過面對角線AB₁且與另一面對角線BC₁平行的平面交上底面A₁B₁C₁的一邊A₁C₁于點D.

(1)確定D的位置，并證明你的結(jié)論；

(2)證明：平面AB₁D⊥平面AA₁D；

(3)若AB∶AA₁=，求平面AB₁D與平面AB₁A₁所成角的大小.

分析：本題結(jié)論不定，是“開放性”的，點D位置的確定如果僅憑已知條件推理難以得出.由于AB₁與BC₁這兩條面對角線是相鄰二側(cè)面上的異面直線，于是可考慮將BC₁沿BA平行移動，BC₁取AE₁位置，則平面AB₁E₁一定平行BC₁，問題可以解決.

(1)解：如下圖，將正三棱柱ABC-A₁B₁C₁補成一直平行六面體ABCE-A₁B₁C₁E₁，由AE₁∥BC₁，AE₁平面AB₁E₁，知BC₁∥平面AB₁E₁，故平面AB₁E₁應(yīng)為所求平面，此時平面AB₁E₁交A₁C₁于點D，由平行四邊形對角線互相平行性質(zhì)知，D為A₁C₁的中點.

(2)證明：連結(jié)B₁D，則B₁D⊥A₁C₁;從直三棱柱定義知AA₁⊥底面A₁B₁C₁，

∴AA₁⊥B₁D, 又A₁D∩AA₁=A₁，

∴B₁D⊥平面AA₁D，又B₁D平面AB₁D，

∴平面AB₁D⊥平面AA₁D.

(3)解：因為平面AB₁D∩平面AA₁D=AD，所以過A₁作A₁H⊥AD于點H.作HF⊥AB₁于點F，連結(jié)A₁F，從三垂線定理知A₁F⊥AB₁.

故∠A₁FH是二面角A₁-AB₁-D的平面角.

設(shè)側(cè)棱AA₁=1，側(cè)棱AB=.

于是AB₁== .

在Rt△AB₁A₁中，A₁F===，

在Rt△AA₁D中，AA₁=1，A₁D=A₁C₁=，

AD== .

　∴A₁H==.

在Rt△A₁FH中，sin∠A₁FH==，∴∠A₁FH=45°.

因此知平面AB₁D與平面AB₁A₁所成角為45⁰或135⁰.

[例3]在四棱錐P-ABCD中，已知ABCD為矩形，PA ⊥平面ABCD，設(shè)PA=AB=1，BC=2，求二面角B-PC-D的大小.

解析1.定義法　過D作DE ⊥PC于E，

過E作EF ⊥PC，交BC于F，連接

FD，則 是所求二面角B-PC-D

的平面角.求解二面角B-PC-D的大小，只需解△DEF即可.所求角為

解析2.垂面法　易證面PAB⊥面PBC，過A作AM ⊥BP于M，顯然AM ⊥面PBC，從而有AM ⊥PC，同法可得AN ⊥PC，再由AM與AN相交與A得PC ⊥面AMN.設(shè)面AMN交PC于Q，

則為二面角B-PC-D的平面角；

∠MAN為它的補角，在三角形AMN中可解.計算較繁.

解析3.利用三垂線求解把四棱錐P-ABCD補成如圖的直三棱柱PAB-EDC，顯然二面角E-PC-D與二面角D-PC-B互補，轉(zhuǎn)化為求二面角E-PC-D.

易證面PEDA ⊥PDC，過E作EF ⊥ PD

于F，顯然PF ⊥面PDC，在面PCE內(nèi)，

過E作EG ⊥PC于G，連接GF，由三

線得GF⊥ PC 即為二面角E-PC-D的平面角，只需解△EFG即可.

解析4. 射影面積法。由解析3知，△PFC為△ PEC

在面PDC上的射影，由射影面積公式得 ，所求角為

解析5.在面PDC內(nèi)，分別過D、B作DE ⊥PC于E，BF ⊥PC于F，連接EF即可.利用平面知識求BF、EF、DE的長度，再利用空間余弦定理求出q 即可.

◆思悟提煉：想一想求二面角都用了哪些方法：

[例4]由一點S引不共面的三條射線SA、SB、SC，設(shè)ÐASB=a，ÐBSC=b，ÐASC=g，其中a，b，g均為銳角，則平面ASB^平面BSC的充要條件是cosa×cosb=cosg．

證明：必要性．如圖(1), 過點A作AD^SB于D.

∵平面ASB^平面BSC, ∴AD^平面BSC．

過D作DE^SC于E，連AE，則AE^SC．

在Rt△ADS中，cosa=；

在Rt△DES中，cosb=；

例3．

在Rt△AES中，cosg=，由此可得

cosa×cosb=×==cosg． 必要性得證．

充分性．如圖2，過點A作AA₁^SB于A₁，過點A₁作A₁C₁^SC于C₁.

在Rt△AA₁S中，cosa=；

在Rt△A₁C₁S中，cosb=;

∵cosg=cosa×cosb=×=,

∴SC₁=SA×cosg．

過A作AC₁¢^SC，垂足為C₁¢，在Rt△AC₁¢S中，SC₁¢=SA×cosg．

由此得SC₁¢=SC₁，即C₁¢與C₁重合，故SC^AC₁．

而SC^A₁C₁，且AC₁IA₁C₁=C₁，

∴SC^平面AA₁C₁，∴SC^AA₁．

又∵SB^AA₁，SBISC=S，

∴AA₁^平面BSC，而AA₁Ì平面ASB，

∴平面ASB^平面BSC．充分性得證．

5. 　MD⊥PC或MB⊥PC ;　 6. a

6.夾在互相垂直的兩個平面之間長為2a的線段和這兩個平面所成的角分別為45°和30°，過這條線段的兩個端點分別向這兩個平面的交線作垂線，則兩垂足間的距離為_____________.

◆答案提示：1-4.CBBB；

5．如圖在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面各邊都相等，M是PC上的一動點，當(dāng)點M滿足__________時，平面MBD⊥平面PCD.

4.P為△ABC所在平面外的一點，則點P在此三角形所在平面上的射影是△ABC垂心的充分必要條件是

A.PA=PB=PC　　 B.PA⊥BC，PB⊥AC　 (　 )

C.點P到△ABC三邊所在直線距離相等

D.平面PAB、平面PBC、平面PAC與△ABC所在的平面所成的角相等

3.設(shè)兩個平面α、β，直線l ，下列三個條件：① l ⊥α; ② l∥β;③α⊥β,若以其中兩個作為條件，另一個作為結(jié)論，可構(gòu)成正確命題的個數(shù)是　　 　　(　 )

A.3　　 B.2　　　 C. 1　　 D. 0

2.設(shè)、是兩條不同的直線，、是兩個不同的平面.考查下列命題，其中正確的命題是　　　 (　 )　　　　　

1.在三棱錐A-BCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，△BCD是銳角三角形，那么必有(　 )

A.平面ABD⊥平面ADC　　　　　

B.平面ABD⊥平面ABC

C.平面ADC⊥平面BCD　　　

　　 D.平面ABC⊥平面BCD