考點一：數(shù)學(xué)歸納法

[內(nèi)容解讀]數(shù)學(xué)歸納法的表述嚴(yán)格而且規(guī)范，兩個步驟缺一不可。第一步是命題遞推的基礎(chǔ)；第二步是遞推的依據(jù)，是論證過程的關(guān)鍵。在論證時，第一步驗算n=中的n不一定為1，根據(jù)題目的要求，有時可為2，3等。第二步證明n=k+1時命題也成立的過程中，歸納假設(shè)P(k)起著“已知條件”的作用，必須利用歸納假設(shè)P(k)，恰當(dāng)?shù)耐ㄟ^推理和運算推出P(k+1)，否則就不是數(shù)學(xué)歸納法。第二步證明的關(guān)鍵是“一湊假設(shè)，二湊結(jié)論”。

數(shù)學(xué)歸納法的兩步分別是數(shù)學(xué)歸納法的兩個必要條件，兩者缺一不可，兩步均予以證明才具備了充分性，也就是完成了這兩步的證明才能斷定命題的正確性。

[命題規(guī)律]數(shù)學(xué)歸納法一般出現(xiàn)在解答題中，與數(shù)列、函數(shù)等內(nèi)容結(jié)合，難度屬中等偏難。

例1、(2007全國1理22)已知數(shù)列中，，．

(Ⅰ)求的通項公式；

(Ⅱ)若數(shù)列中，，，證明：，．

解：(Ⅰ)由題設(shè)：

，．

所以，數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，

，

即的通項公式為，．

(Ⅱ)用數(shù)學(xué)歸納法證明．

(ⅰ)當(dāng)時，因，，所以

，結(jié)論成立．

(ⅱ)假設(shè)當(dāng)時，結(jié)論成立，即，

也即．

當(dāng)時，

，

又，

所以　

．

也就是說，當(dāng)時，結(jié)論成立．

根據(jù)(ⅰ)和(ⅱ)知，．

點評：本題考查數(shù)學(xué)歸納法的證明，與數(shù)列、不等式等結(jié)合，屬中等偏難的試題。

例2、(2008浙江)已知數(shù)列，，，．

記：，．

求證：當(dāng)時，

(Ⅰ)；(Ⅱ)；(Ⅲ)

(Ⅰ)證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明．

①當(dāng)時，因為是方程的正根，所以．

②假設(shè)當(dāng)時，，

因為

　　　　　　 ，

所以．即當(dāng)時，也成立．

根據(jù)①和②，可知對任何都成立．

(Ⅱ)證明：由，()，

得．

因為，所以．

由及得，所以．

(Ⅲ)證明：由，得

所以，

于是，

故當(dāng)時，，

又因為，所以．

點評：本題主要考查數(shù)列的遞推關(guān)系，數(shù)學(xué)歸納法、不等式證明等基礎(chǔ)知識和基本技能，同時考查邏輯推理能力．

考點二：極限的求解

[內(nèi)容解讀]極限主要包括數(shù)列極限和函數(shù)極限，掌握幾個重要極限的求法，極限的四則運算等內(nèi)容；理解函數(shù)在一點處的極限，并會求函數(shù)在一點處的極限．已知函數(shù)的左、右極限，會求函數(shù)在一點處的左右極限．

[命題規(guī)律]極限在高中數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)中起著橋梁作用，是中學(xué)數(shù)學(xué)與大學(xué)數(shù)學(xué)的銜接點，是高中數(shù)學(xué)的新增內(nèi)容，是高考的熱點之一。一般以選擇題、填空題或解答題的形式出現(xiàn)，難度適中。

例3、(2008陜西卷13)，則　　　　 ．1

解：

點評：數(shù)列極限是高考熱點題型之一，掌握幾種類型的求解方法。

例4、(2008重慶卷)已知函數(shù)f(x)= 　，點在x=0處連續(xù)，則　　　　 .

解： 又 　點在x=0處連續(xù)，

所以 即　 故

點評：在點處的極限值等于這點的函數(shù)值，即。函數(shù)在處連續(xù)，反映在圖像上是的圖像在點x=處是不間斷的。

例5、(2007湖北理)已知和是兩個不相等的正整數(shù)，且，則(　　 )

A．0　　　　　　　　　　 B．1　　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　 D．

解：方法一　 特殊值法，由題意取，

則，可見應(yīng)選C

方法二　

　　　 令，分別取和，則原式化為

所以原式=(分子、分母1的個數(shù)分別為個、個)

點評：本題考察數(shù)列的極限和運算法則，可用特殊值探索結(jié)論，即同時考察學(xué)生思維的靈活性。當(dāng)不能直接運用極限運算法則時，首先化簡變形，后用法則即可。本題也體現(xiàn)了等比數(shù)列求和公式的逆用。

考點三：導(dǎo)數(shù)的相關(guān)問題

[內(nèi)容解讀]1、了解導(dǎo)數(shù)概念的實際背景，體會導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵；2、通過函數(shù)圖象直觀地理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義；3、能利用給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，能求簡單的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；4、了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求不超過三次的多項式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；5、了解函數(shù)在某取得極值的必要條件和充分條件，會用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值，以及閉區(qū)間上函數(shù)的最大值和最小值；體會導(dǎo)數(shù)方法在研究函數(shù)性質(zhì)中的一般性有效性；5、會用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)解決一些實際問題，如生活中的最優(yōu)化問題等。

[命題規(guī)律]考查導(dǎo)數(shù)的概念、切線方程、導(dǎo)數(shù)的計算等內(nèi)容，在高考中經(jīng)常以填空題或選擇題為主要題型，難度不大；考查單調(diào)性、極值、最值等問題及應(yīng)用問題，以中檔題為主，題型以解答題為主。

例6、(2008福建)如果函數(shù)的圖像如右圖,那么導(dǎo)函數(shù)的圖像可能是(　)

解：由原函數(shù)的單調(diào)性可以得到導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)情況依次是正→負(fù)→正→負(fù),只有答案A滿足.

點評：深刻理解函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵。

例7、(2008廣東文)設(shè)，若函數(shù)，有大于零的極值點，則(A )

A．　　 B. 　　　C. 　　　D.

解：依題意，有有大于0的實根,數(shù)形結(jié)合令,則兩曲線交點在第一象限,結(jié)合圖像易得,選A.

點評：畫出兩個函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合法求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想。

例8、(2008湖北理)若f(x)=上是減函數(shù)，則b的取值范圍是(　 )

A.[-1，+∞]　　　 B.(-1，+∞) C.(-∞，-1)　 D.(-∞，-1)

解：由題意可知，在上恒成立，

即在上恒成立，由于，所以，故C為正確答案．

點評：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)小于零，則函數(shù)在該區(qū)間上是減函數(shù)，反之也成立。如果在某區(qū)間上函數(shù)的導(dǎo)數(shù)大于零，則函數(shù)在該區(qū)間上是增函數(shù)。

例9、(2008全國Ⅰ卷文) 曲線在點處的切線的傾斜角為(　 　 )

A．30°　　　　 B．45°　　　　 C．60°　　　　 D．120°

解：，在點(1,3)處切線的斜率為：k＝3×12－2＝1，所以傾斜角為45°　 ，選(B)。

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，在某點處的切線的斜率問題。

例10、(2008安徽文)設(shè)函數(shù)為實數(shù)。

(Ⅰ)已知函數(shù)在處取得極值，求的值；

(Ⅱ)已知不等式對任意都成立，求實數(shù)的取值范圍。

解: (1)　 ，由于函數(shù)在時取得極值，所以

　　 即

　(2) 方法一：由題設(shè)知：對任意都成立

　　 即對任意都成立

　 設(shè) , 則對任意，為單調(diào)遞增函數(shù)

　 所以對任意，恒成立的充分必要條件是

　 即 ，

　 于是的取值范圍是

　 方法二：由題設(shè)知：對任意都成立

　 即對任意都成立

　 于是對任意都成立，即

于是的取值范圍是

點評：函數(shù)在某點處取得極值，則在這點處的導(dǎo)數(shù)為0，反過來，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在某點的值為0，則在函數(shù)這點處取得極值。

例11、(2008廣東文)某單位用2160萬元購得一塊空地，計劃在該地塊上建造一棟至少10層、每層2000平方米的樓房。經(jīng)測算，如果將樓房建為x(x10)層，則每平方米的 平均建筑費用為560+48x(單位：元)。為了使樓房每平方米的平均綜合費用最少，該樓房應(yīng)建為多少層？

(注：平均綜合費用=平均建筑費用+平均購地費用，平均購地費用=)

解：設(shè)樓房每平方米的平均綜合費為元，依題意得

則，令，即，解得

當(dāng)時，；當(dāng)時，，

因此，當(dāng)時，取得最小值，元.

答：為了使樓房每平方米的平均綜合費最少，該樓房應(yīng)建為15層。

點評：本題是導(dǎo)數(shù)在實際問題中的應(yīng)用，求最值問題，經(jīng)常就是求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，在極值處取得最值。

例12、(2008湖北理)水庫的蓄水量隨時間而變化，現(xiàn)用t表示時間，以月為單位，年初為起點，根據(jù)歷年數(shù)據(jù)，某水庫的蓄水量(單位：億立方米)關(guān)于t的近似函數(shù)關(guān)系式為

V(t)=

(Ⅰ)該水庫的蓄求量小于50的時期稱為枯水期.以i-1＜t＜t表示第1月份(i=1,2,…,12),同一年內(nèi)哪幾個月份是枯水期？

(Ⅱ)求一年內(nèi)該水庫的最大蓄水量(取e=2.7計算).

解：(Ⅰ)①當(dāng)0＜t10時，V(t)=(-t2+14t-40)

化簡得t2-14t+40>0,

解得t＜4，或t＞10，又0＜t10，故0＜t＜4.

②當(dāng)10＜t12時，V(t)＝4(t-10)(3t-41)+50＜50,

化簡得(t-10)(3t-41)＜0,

解得10＜t＜，又10＜t12,故 10＜t12.

綜合得0<t<4,或10<t12,

故知枯水期為1月，2月，，3月，4月，11月，12月共6個月.

(Ⅱ)(Ⅰ)知：V(t)的最大值只能在(4，10)內(nèi)達到.

由V′(t)=

令V′(t)=0,解得t=8(t=-2舍去).

當(dāng)t變化時，V′(t) 與V (t)的變化情況如下表：

t	(4,8)	8	(8,10)
V′(t)	+	0	-
V(t)		極大值

由上表，V(t)在t＝8時取得最大值V(8)＝8e2+50-108.52(億立方米).

故知一年內(nèi)該水庫的最大蓄水量是108.32億立方米

點評：本小題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)和不等式等基本知識，考查用導(dǎo)數(shù)求最值和綜合運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題能力.

考點四：復(fù)數(shù)

[內(nèi)容解讀]本章重點是復(fù)數(shù)的概念及代數(shù)形式的運算.難點是復(fù)數(shù)的向量表示和復(fù)數(shù)的三角形式及其運算.

[命題規(guī)律]復(fù)數(shù)的概念及其運算是高考命題熱點，從近幾年高考試題來看，主要考查復(fù)數(shù)的概念及其運算，難度不大。

例11、(2008福建理) 若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實數(shù)a的值為(　)

A.1　　　　　　　　　　　 B.2　　　　　　　　　　　 C.1或2　　　　　　　　　 D.-1

解：由得,且。

點評：本題主要考查復(fù)數(shù)的概念，注意純虛數(shù)一定要使虛部不為0。

例12、(2008江西理) 在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于(　 )

A．第一象限　　 B．第二象限　　 　C．第三象限　 　　D．第四象限

解：因所以對應(yīng)的點在第四象限，選(D)。

點評：本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義及三角函數(shù)的知識，每一個復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)都有一個點與之對應(yīng)。

例13、(2008湖南理)復(fù)數(shù)等于(　 　　 )

A.8 　　　 　　B.－8　　　 　 C.8i　　　　　 D.－8i

解：由,易知D正確.

點評：本題考查復(fù)數(shù)的運算，掌握＝－1。

例14、(2008上海文)若是實系數(shù)方程的一個虛根，且，則　　　　　 ．

解：設(shè),則方程的另一個根為,且，

由韋達定理，得：

所以

點評：本題考查一元二次方程根的意義、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模等知識。

例15、設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z+|+|z－| = 2，求|z++1|的最小值．

解：由題設(shè)知，復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點集是線段AB，如圖所示，線段AB上B點到C點距離最短．

∵|BC |=1，∴|z++1|的最小值為1．

點評：在分析問題和解決問題時，要注意解析語言的意義及運用，要掌握圖形語言、符號語言及文字語言的互化，自覺地由“形”到“數(shù)”與由“形”變“數(shù)”地運用數(shù)形結(jié)合的思維方法．

(三)復(fù)數(shù)

1．復(fù)數(shù)及分類

形如a+bi(a，b∈R)的數(shù)叫復(fù)數(shù)，其中a為實部，b為虛部，ii是虛數(shù)單位，且滿足ii2＝－1.

復(fù)數(shù)z＝a+bi(a，b∈R)

2．復(fù)數(shù)相等的充要條件

a+bii＝c+diiÛa＝c，b＝d(a，b，c，d∈R).

特別地a+bii＝0Ûa＝b＝0(a，b∈R).

3．i的冪

i4n＝1，i4n+1＝i，i4n+2＝－1，i4n+3＝－i(n∈Z).

4．復(fù)數(shù)的加法和減法

(a+bi)±(c+di)＝(a±c)+(b±d)i(a，b，c，d∈R).

5．復(fù)數(shù)的乘法和除法

⑴復(fù)數(shù)的乘法按多項式相乘進行，即

(a+bi)(c+di)＝ac+adi+bci+bdi2＝(ac－bd)+(ad+bc)i.

⑵復(fù)數(shù)除法是乘法的逆運算，其實質(zhì)是分母實數(shù)化.

6．共軛復(fù)數(shù)

z＝a+bi與＝a－bi互為共軛復(fù)數(shù)。

7．復(fù)數(shù)的模

設(shè)z＝a+bi，則復(fù)數(shù)的模：｜z｜＝r＝

8．復(fù)數(shù)與點的軌跡

復(fù)數(shù)與復(fù)平面上的點是一一對應(yīng)的。

⑴兩點間的距離公式：d＝｜z1－z2｜；

⑵圓的方程：｜z－P｜＝r(以點P為圓心，r為半徑)；

(二)導(dǎo)數(shù)

1.有關(guān)概念

①平均變化率：

②函數(shù)在某一點的導(dǎo)數(shù)：

③函數(shù)的導(dǎo)數(shù)＝＝

2. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義：

是曲線上點()處的切線的斜率

說明：⑴.導(dǎo)數(shù)的幾何意義可以簡記為“k=”,強化這一句話“斜率導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)斜率”

　 ⑵.曲線在點()處的切線方程為

3.導(dǎo)數(shù)的物理意義：

s=s(t)是物體運動的位移函數(shù)，物體在t=時刻的瞬時速度是

說明：⑴.物理意義在教材上只是以引例形式出現(xiàn)，教學(xué)大綱對它的要求不高，知道即可。

⑵.物理意義可以簡記為=

4、幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

5、求導(dǎo)法則

，，(v≠0)

6、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)

＝

(一)極限

1、數(shù)學(xué)歸納法是一種用遞歸方法來證明與正整數(shù)有關(guān)命題的重要方法，它是完全歸納法中的一種。論證問題分為兩步：

證明當(dāng)n取第一個值時結(jié)論正確；

假設(shè)當(dāng)n=k(k∈且k≥)時結(jié)論正確，證明當(dāng)n=k+1時結(jié)論也正確。

由(1)、(2)斷定命題對于從開始的一切正整數(shù)都成立。

2、數(shù)列極限的定義

設(shè)是一個無窮數(shù)列，A是一個常數(shù)，如果對于預(yù)先給定的任意小的正數(shù)ε，總存在正整數(shù)N，使得只要正整數(shù)n＞N，就有|-A|＜ε，那么就說數(shù)列以A為極限(或A是數(shù)列的極限)，記作=A。

3、數(shù)列極限的運算法則

如果=A，=B，那么

(1) (±)=±=A±B；

(2) (·)=·=A·B

(3)

(4)(c·)= c·=cA(c為常數(shù))

極限運算法則中的各個極限都應(yīng)存在，都可推廣到任意有限個極限的情況，不能推廣到無限個。在商的運算法則中，要注意對式子的恒等變形，有些題目分母不能直接求極限。

4、特殊數(shù)列的極限

(1)C=C(C為常數(shù))

(2)　　　　　 0(|a|＜1)

=　 1(a=l

　　　　　　　 不存在(|a|＞1或a=-1)

(3) =0(α＞0的常數(shù))

(4)

　　　　　　　　　　　　　　 (當(dāng)k=時)

=　 0(當(dāng)k＜時

　　　　　　　　　　　　　　 不存在(當(dāng)k＞時)

說明：欲求極限的式子中，含有項數(shù)與n有關(guān)的“和式”或“積式”，應(yīng)先求和或積。

5、常見的數(shù)列極限的類型和求法

(1)“”型，分子、分母分別求和再轉(zhuǎn)化。

(2)“”型，分子、分母先求和，再化簡，轉(zhuǎn)化為有極限。

(3)“”型，將其看作分母為1的分式，轉(zhuǎn)化求極限。

6、與和之間的關(guān)系

=a　　　 ==a。

如果在點處左、右極限都存在并且等值，則在點處的極限也存在，并且與左、右極限值相同；如果 在處的左、右極限至少有一個不存在，或者左、右極限都存在但不等值，則函數(shù)在點處沒有極限，這種關(guān)系也反映出、、、也都在處連續(xù)。

9．以等差、等比數(shù)列的基本問題為主，突出數(shù)列與函數(shù)、數(shù)列與方程、數(shù)列與不等式、數(shù)列與幾何等的綜合應(yīng)用．

以上關(guān)于數(shù)列二輪復(fù)習(xí)的幾點建議僅供復(fù)習(xí)時參考，各校應(yīng)根據(jù)自己的實際情況進行增減，四星以下的學(xué)校應(yīng)重在基礎(chǔ)，對于數(shù)列的綜合問題可略講，甚至不講．

8．掌握一些數(shù)列求和的方法

(1)分解成特殊數(shù)列的和

(2)裂項求和

(3)“錯位相減”法求和

7．根據(jù)遞推關(guān)系，運用化歸思想，將其轉(zhuǎn)化為常見數(shù)列；

6．掌握數(shù)列通項an與前n項和Sn 之間的關(guān)系；

5．根據(jù)遞推公式，通過尋找規(guī)律，運用歸納思想，寫出數(shù)列中的某一項或通項，主要需注意從等差、等比、周期等方面進行歸納；

4．注意深刻理解等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義及其等價形式；