(一)思想方法總結(jié)

1. 數(shù)形結(jié)合

2. 分類討論

3. 函數(shù)與方程

(一) 函數(shù)性質(zhì)法

函數(shù)的特征是通過其性質(zhì)(如奇偶性，單調(diào)性周期性，特殊點等)反應(yīng)出來的，抽象函數(shù)也是如此，只有充分挖掘和利用題設(shè)條件和隱含的性質(zhì)，靈活進行等價轉(zhuǎn)化，抽象函數(shù)問題才能轉(zhuǎn)化，化難為易，常用的解題方法有:1，利用奇偶性整體思考;2，利用單調(diào)性等價轉(zhuǎn)化;3，利用周期性回歸已知4;利用對稱性數(shù)形結(jié)合;5，借助特殊點，布列方程等.

(二 )特殊化方法

1、在求解函數(shù)解析式或研究函數(shù)性質(zhì)時，一般用代換的方法，將x換成－x等

2、在求函數(shù)值時，可用特殊值代入

3、研究抽象函數(shù)的具體模型，用具體模型解選擇題，填空題，或由具體模型函數(shù)對綜合題，的解答提供思路和方法.

總之，抽象函數(shù)問題求解，用常規(guī)方法一般很難湊效，但我們?nèi)绻�能通過對題目的信息分析與研究，采用特殊的方法和手段求解，往往會收到事半功倍之功效，真有些山窮水復(fù)疑無路，柳暗花明又一村的快感.

例13、(2008陜西文) 定義在上的函數(shù)滿足()，，則等于(　　 )

A．2　　　　　　　 B．3　　　　　　　 C．6　　　　　　　 D．9

解：令，令；

令得

　　 考點六：函數(shù)的綜合應(yīng)用

函數(shù)的綜合運用主要是指運用函數(shù)的知識、思想和方法綜合解決問題．函數(shù)描述了自然界中量的依存關(guān)系，是對問題本身的數(shù)量本質(zhì)特征和制約關(guān)系的一種刻畫，用聯(lián)系和變化的觀點提出數(shù)學(xué)對象，抽象其數(shù)學(xué)特征，建立函數(shù)關(guān)系．因此，運動變化、相互聯(lián)系、相互制約是函數(shù)思想的精髓，掌握有關(guān)函數(shù)知識是運用函數(shù)思想的前提，提高用初等數(shù)學(xué)思想方法研究函數(shù)的能力，樹立運用函數(shù)思想解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題的意識是運用函數(shù)思想的關(guān)鍵．

　例14、(2008廣東高考試題)某單位用2160萬元購得一塊空地，計劃在該地塊上建造一棟至少10層、每層2000平方米的樓房。經(jīng)測算，如果將樓房建為x(x10)層，則每平方米的 平均建筑費用為560+48x(單位：元)。為了使樓房每平方米的平均綜合費用最少，該樓房應(yīng)建為多少層？

(注：平均綜合費用=平均建筑費用+平均購地費用，平均購地費用=)

[解析]：設(shè)樓房每平方米的平均綜合費為元，依題意得

則，令，即，解得

當(dāng)時，；當(dāng)時，，

因此，當(dāng)時，取得最小值，元.

答：為了使樓房每平方米的平均綜合費最少，該樓房應(yīng)建為15層。

［點評］：這是一題應(yīng)用題，利用函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的知識來解決問題。利用導(dǎo)數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)值域或最值是一種常用的方法.

　例15、(2007湖北文科高考試題)某商品每件成本9元，售價為30元，每星期賣出432件. 如果降低價格，銷售量可以增加，

且每星期多賣出的商品件數(shù)與商品單價的降低值(單位：元，)的平方成正比.

已知商品單價降低2元時，一星期多賣出24件．

(I)將一個星期的商品銷售利潤表示成的函數(shù)；

(II)如何定價才能使一個星期的商品銷售利潤最大？

本小題主要考查根據(jù)實際問題建立數(shù)學(xué)模型，以及運用函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的知識解決實際問題的能力．

[解析]：(Ⅰ)設(shè)商品降價元，則多賣的商品數(shù)為，若記商品在一個星期的獲利為，

則依題意有，

又由已知條件，，于是有，

所以．

(Ⅱ)根據(jù)(Ⅰ)，我們有．

		2		12
		0		0
		極小		極大

故時，達到極大值．因為，，

所以定價為元能使一個星期的商品銷售利潤最大．

［點評］：本小題主要考查根據(jù)實際問題建立數(shù)學(xué)模型，以及運用函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的知識解決實際問題的能力．

考點七、函數(shù)的零點

例16、(2008山東荷澤模擬題)函數(shù)的零點所在的區(qū)間是　　 )

　　　 A． B．(1，10)　　　 C．　 D．

解：因為f(1)＝0－1＜0，f(10)＝1－＞0，即f(1)•f(10)＜0，

所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,10)之間有零點。

［點評］：如果函數(shù)f(x)在區(qū)間［a，b］上連續(xù)，且f(a)•f(b)＜0，則函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上有零點，函數(shù)的零點，二分法，函數(shù)的應(yīng)用都是函數(shù)的重點內(nèi)容。

例17、(2007廣東高考題)已知a是實數(shù)，函數(shù)，如果函數(shù)在區(qū)間[-1，1]上有零點，

求實數(shù)a的取值范圍。

[解析]當(dāng)a=0時，函數(shù)為f　(x)=2x -3，其零點x=不在區(qū)間[-1，1]上。

當(dāng)a≠0時，函數(shù)f　(x) 在區(qū)間[-1，1]分為兩種情況：

①函數(shù)在區(qū)間[─1，1]上只有一個零點，此時

或

解得1≤a≤5或a=　　　　　　　　　　　　

②函數(shù)在區(qū)間[─1，1]上有兩個零點，此時

　 　　　　或

解得a5或a<

綜上所述，如果函數(shù)在區(qū)間[─1，1]上有零點，那么實數(shù)a的取值范圍為

(-∞,　　　　 ]∪[1, +∞)

考點一：函數(shù)的性質(zhì)與圖象

函數(shù)的性質(zhì)是研究初等函數(shù)的基石，也是高考考查的重點內(nèi)容．在復(fù)習(xí)中要肯于在對定義的深入理解上下功夫．

復(fù)習(xí)函數(shù)的性質(zhì)，可以從“數(shù)”和“形”兩個方面，從理解函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的定義入手，在判斷和證明函數(shù)的性質(zhì)的問題中得以鞏固，在求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、函數(shù)的最值及應(yīng)用問題的過程中得以深化．具體要求是：

1．正確理解函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的定義，能準(zhǔn)確判斷函數(shù)的奇偶性，以及函數(shù)在某一區(qū)間的單調(diào)性，能熟練運用定義證明函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性．

2．從數(shù)形結(jié)合的角度認識函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，深化對函數(shù)性質(zhì)幾何特征的理解和運用，歸納總結(jié)求函數(shù)最大值和最小值的常用方法．

3．培養(yǎng)學(xué)生用運動變化的觀點分析問題，提高學(xué)生用換元、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法解決問題的能力．

函數(shù)的圖象是函數(shù)性質(zhì)的直觀載體，函數(shù)的性質(zhì)可以通過函數(shù)的圖像直觀地表現(xiàn)出來。

因此，掌握函數(shù)的圖像是學(xué)好函數(shù)性質(zhì)的關(guān)鍵，這也正是“數(shù)形結(jié)合思想”的體現(xiàn)。復(fù)習(xí)函數(shù)圖像要注意以下方面。

1．掌握描繪函數(shù)圖象的兩種基本方法--描點法和圖象變換法．

2．會利用函數(shù)圖象，進一步研究函數(shù)的性質(zhì)，解決方程、不等式中的問題．

3．用數(shù)形結(jié)合的思想、分類討論的思想和轉(zhuǎn)化變換的思想分析解決數(shù)學(xué)問題．

4．掌握知識之間的聯(lián)系，進一步培養(yǎng)觀察、分析、歸納、概括和綜合分析能力．

例1、(2008廣東汕頭二模)設(shè)集合A={x|x<-1或x>1}，B={x|log2x>0}，則A∩B=(　 )　　　

　A．{x| x>1} B．{x|x>0}　　 C．{x|x<-1}　　 D．{x|x<-1或x>1}

[解析]:由集合B得x>1 ,\ A∩B={x| x>1}，故選(A) 。

［點評］本題主要考查對數(shù)函數(shù)圖象的性質(zhì)，是函數(shù)與集合結(jié)合的試題，難度不大，屬基礎(chǔ)題。

例2、(2008廣東惠州一模) “龜兔賽跑”講述了這樣的故事：領(lǐng)先的兔子看著慢慢爬行的烏龜，驕傲起來，睡了一覺，當(dāng)它醒來時，發(fā)現(xiàn)烏龜快到終點了，于是急忙追趕，但為時已晚，烏龜還是先到達了終點…用S1、S2分別表示烏龜和兔子所行的路程，t為時間，則下圖與故事情節(jié)相吻合的是 (　　 )

[解析]：選(B)，在(B)中，烏龜?shù)竭_終點時，兔子在同一時間的路程比烏龜短。

［點評］函數(shù)圖象是近年高考的熱點的試題，考查函數(shù)圖象的實際應(yīng)用，考查學(xué)生解決問題、分析問題的能力，在復(fù)習(xí)時應(yīng)引起重視。

例3、(2008年廣東惠州一模)設(shè) ，又記

則 (　　 )

A．；　　　　　 B．；　　　　 C．；　　　　　 D．；

[解析]:本題考查周期函數(shù)的運算。，

，據(jù)此，，，因為型，故選.

［點評］本題考查復(fù)合函數(shù)的求法，以及是函數(shù)周期性，考查學(xué)生觀察問題的能力，通過觀察，關(guān)于總結(jié)、歸納，要有從特殊到一般的思想。

例4、(2008福建文科高考試題)函數(shù)，若,則的值為　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　(　　 )

A.3　　　　　　　　 B.0　　　　　 C.-1　　　　 D.-2

[解析]：為奇函數(shù)，又

故即.

［點評］本題考查函數(shù)的奇偶性，考查學(xué)生觀察問題的能力，通過觀察能夠發(fā)現(xiàn)如何通過變換式子與學(xué)過的知識相聯(lián)系，使問題迎刃而解。

例5、(2008廣東高考試題)設(shè)，函數(shù)，

，，試討論函數(shù)的單調(diào)性．

[解析]　

對于，

當(dāng)時，函數(shù)在上是增函數(shù)；

當(dāng)時，函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；

對于，

當(dāng)時，函數(shù)在上是減函數(shù)；

當(dāng)時，函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)。

［點評］在處理函數(shù)單調(diào)性的證明時，可以充分利用基本函數(shù)的性質(zhì)直接處理，但學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)后，函數(shù)的單調(diào)性就經(jīng)常與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)聯(lián)系在一起，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)來處理函數(shù)的單調(diào)進性，顯得更加簡單、方便。

考點二：二次函數(shù)

二次函數(shù)是中學(xué)代數(shù)的基本內(nèi)容之一，它既簡單又具有豐富的內(nèi)涵和外延. 作為最基本的初等函數(shù)，可以以它為素材來研究函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、最值等性質(zhì)，還可建立起函數(shù)、方程、不等式之間的有機聯(lián)系；作為拋物線，可以聯(lián)系其它平面曲線討論相互之間關(guān)系. 　這些縱橫聯(lián)系，使得圍繞二次函數(shù)可以編制出層出不窮、靈活多變的數(shù)學(xué)問題.　同時，有關(guān)二次函數(shù)的內(nèi)容又與近、現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展緊密聯(lián)系，是學(xué)生進入高校繼續(xù)深造的重要知識基礎(chǔ). 因此，從這個意義上說，有關(guān)二次函數(shù)的問題在高考中頻繁出現(xiàn)，也就不足為奇了.

學(xué)習(xí)二次函數(shù)，可以從兩個方面入手：一是解析式，二是圖像特征. 從解析式出發(fā)，可以進行純粹的代數(shù)推理，這種代數(shù)推理、論證的能力反映出一個人的基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)；從圖像特征出發(fā)，可以實現(xiàn)數(shù)與形的自然結(jié)合，這正是中學(xué)數(shù)學(xué)中一種非常重要的思想方法.

例6、設(shè)二次函數(shù)，方程的兩個根滿足.　 當(dāng)時，證明.

[解析]：在已知方程兩根的情況下，根據(jù)函數(shù)與方程根的關(guān)系，可以寫出函數(shù)的表達式，從而得到函數(shù)的表達式.

證明：由題意可知.

，

∴ ，

∴　 當(dāng)時，.

又，

∴　 ，

綜上可知，所給問題獲證.

［點評］：本題主要利用函數(shù)與方程根的關(guān)系，寫出二次函數(shù)的零點式。

例7、(2007湖北文科高考試題)設(shè)二次函數(shù)，方程的兩根和滿足．

(I)求實數(shù)的取值范圍；

(II)試比較與的大�。�并說明理由．

[解析]法1：(Ⅰ)令，

則由題意可得．

故所求實數(shù)的取值范圍是．

(II)，令．

當(dāng)時，單調(diào)增加，

當(dāng)時，

，即．

法2：(I)同解法1．

(II)，由(I)知，

．又于是

，

即，故．

法3：(I)方程，由韋達定理得

，，于是

．

故所求實數(shù)的取值范圍是．

(II)依題意可設(shè)，則由，得

，故．

［點評］本小題主要考查二次函數(shù)、二次方程的基本性質(zhì)及二次不等式的解法，考查推理和運算能力．

考點三：指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)

指數(shù)函數(shù),對數(shù)函數(shù)是兩類重要的基本初等函數(shù), 高考中既考查雙基, 又考查對蘊含其中的函數(shù)思想、等價轉(zhuǎn)化、分類討論等思想方法的理解與運用. 因此應(yīng)做到能熟練掌握它們的圖象與性質(zhì)并能進行一定的綜合運用.

例8、(2008山東文科高考試題)已知函數(shù)的圖象如圖所示，則滿足的關(guān)系是(　 )

A．　　　　　　 B．

C．　　　　　　 D．

[解析]：由圖易得取特殊點

　　　 .選A.

［點評］：本小題主要考查正確利用對數(shù)函數(shù)的圖象來比較大小。

例9、(2007全國Ⅰ高考試題)設(shè)，函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值之差為，則(　)

A．　 　　 B．　　　　　　 　　 C．　　　　　　　 D．

[解析]：設(shè)，函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值分別為

，它們的差為，　 ∴ ，4，選D。

例10、(2008全國Ⅱ高考試題)若，則(　　 )

A．<<　　　　　　　　 B．<<　　　　 C． <<　　　　　　　 D． <<

[解析]：由，令且取知<<

考點四：反函數(shù)

反函數(shù)在高考試卷中一般為選擇題或填空題，難度不大。通常是求反函數(shù)或考察互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用和圖象關(guān)系。主要利用方法為：

反函數(shù)的概念及求解步驟：①由方程y=¦(x)中解出x=j(y)；即用y的代數(shù)式表示x.。②改寫字母x和y，得出y=¦-1(x)；③求出或?qū)懗龇春瘮?shù)的定義域，(亦即y=¦(x)的值域)�！� 即反解Þ互換Þ求定義域

互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖象之間的關(guān)系，

互為反函數(shù)的兩個函數(shù)性質(zhì)之間的關(guān)系：注意：在定義域內(nèi)嚴格單調(diào)的函數(shù)必有反函數(shù)，但存在反函數(shù)的函數(shù)在定義域內(nèi)不一定嚴格單調(diào)，如y=。

例11、(2007北京高考試題)函數(shù)的反函數(shù)的定義域為(　)

A．　　　　　　　 B．　　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　　 D．

[解析]：函數(shù)的反函數(shù)的定義域為原函數(shù)的值域，原函數(shù)的值域為，∴ 選B。

［點評］：本題考查互為反函數(shù)的兩個函數(shù)性質(zhì)之間的關(guān)系，即：反函數(shù)的定義域為原函數(shù)的值域。

例12、(2008湖南高考試題)設(shè)函數(shù)存在反函數(shù),且函數(shù)的圖象過點(1,2),則函數(shù)的圖象一定過點　　　 .

[解析]由函數(shù)的圖象過點(1,2)得: 即函數(shù)過點則其反函數(shù)過點所以函數(shù)的圖象一定過點

［點評］：本題考查互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖象之間的關(guān)系以及圖象的平移。

考點五：抽象函數(shù)

抽象函數(shù)是指沒有給出具體的函數(shù)解析式或圖像，只給出一些函數(shù)符號及其滿足的條件的函數(shù)，如函數(shù)的定義域，解析遞推式，特定點的函數(shù)值，特定的運算性質(zhì)等，它是高中函數(shù)部分的難點，也是大學(xué)高等數(shù)學(xué)函數(shù)部分的一個銜接點，由于抽象函數(shù)沒有具體的解析表達式作為載體，因此理解研究起來比較困難.但由于此類試題即能考查函數(shù)的概念和性質(zhì)，又能考查學(xué)生的思維能力，所以備受命題者的青睞，那么，怎樣求解抽象函數(shù)問題呢，我們可以利用特殊模型法，函數(shù)性質(zhì)法，特殊化方法，聯(lián)想類比轉(zhuǎn)化法，等多種方法從多角度，多層面去分析研究抽象函數(shù)問題，

7、掌握函數(shù)零點的概念，用二分法求函數(shù)的近似解，會應(yīng)用函數(shù)知識解決一些實際問題。

6.能夠運用函數(shù)的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決某些簡單的實際問題.

5.理解對數(shù)的概念，掌握對數(shù)的運算性質(zhì)，掌握對數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì).

4.理解分數(shù)指數(shù)冪的概念，掌握有理指數(shù)冪的運算性質(zhì)，掌握指數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì).

3.了解反函數(shù)的概念及互為反函數(shù)的函數(shù)圖象間的關(guān)系.

2. 了解函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的概念，掌握判斷一些簡單函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的方法，并能利用函數(shù)的性質(zhì)簡化函數(shù)圖像的繪制過程．

1.理解函數(shù)的概念，了解映射的概念.