5.(天津市十二區(qū)縣重點(diǎn)中學(xué))　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(本小題滿(mǎn)分14分)

已知函數(shù)

(Ⅰ)判斷的奇偶性；

(Ⅱ)在上求函數(shù)的極值；

(Ⅲ)用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時(shí)，對(duì)任意正整數(shù)都有

解：(Ⅰ) �！�…3分

(Ⅱ)當(dāng)時(shí)，　

　　　　　　　　　 ………5分

令有，

　　 當(dāng)x變化時(shí)的變化情況如下表:　 由表可

知：

			(
	+	0	－
	增	極大值	減

當(dāng)時(shí)取極大值. 　　　　　　　　　　　　 ………7分

(Ⅲ)當(dāng)時(shí)　　　　　　 ………8分

　考慮到：時(shí)，不等式等價(jià)于…(1)

　所以只要用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式(1)對(duì)一切都成立即可………9分

(i)當(dāng)時(shí)，設(shè)

，　 　　　　 ………10分

故，即

所以，當(dāng)時(shí)，不等式(1)都成立　　　　　　　　　　 　 ………11分

(ii)假設(shè)時(shí)，不等式(1)都成立，即

　當(dāng)時(shí)設(shè)

　有　 ………12分

　故為增函數(shù)，

　所以，，即，　　 ………13分

這說(shuō)明當(dāng)時(shí)不等式(1)也都成立，

根據(jù)(i)(ii)可知不等式(1)對(duì)一切都成立，

故原不等式對(duì)一切都成立.　　　　　　　　　　　　　 　　 ………14分

4．已知函數(shù)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且．

(Ⅰ)求的最大值；

(Ⅱ)證明：；

(Ⅲ)探究：數(shù)列是否單調(diào)？

解：(Ⅰ)∵，∴．

∵=，(2分)

∴當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減．

∴在區(qū)間內(nèi)，．(2分)

(Ⅱ)用數(shù)學(xué)歸納法證明：

�、� 當(dāng)時(shí)， ∵，∴，成立；

② 假設(shè)當(dāng)時(shí)，成立．

當(dāng)時(shí)，由及，得，(2分)

由(Ⅰ) 知，在上單調(diào)遞增，所以，

而，， 故．

∴當(dāng)時(shí)，也成立．

由①、②知，對(duì)任意都成立．(4分)

(Ⅲ)數(shù)列單調(diào)遞減．(1分)

理由如下：

當(dāng)時(shí)， ∴；

當(dāng)時(shí)，由得．

∵，(2分)

又由 (Ⅱ) 知，，∴，

∴，即

∴，

∴，∴．(3分)

綜上，數(shù)列單調(diào)遞減．

3.(浙江省重點(diǎn)中學(xué)2008年5月)

已知函數(shù)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且．

(Ⅰ)求的最大值；

(Ⅱ)證明：；

(Ⅲ)探究：數(shù)列是否單調(diào)？

解：(Ⅰ)∵，∴．

∵=，(2分)

∴當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減．

∴在區(qū)間內(nèi)，．(2分)

(Ⅱ)用數(shù)學(xué)歸納法證明：

�、� 當(dāng)時(shí)， ∵，∴，成立；

② 假設(shè)當(dāng)時(shí)，成立．

當(dāng)時(shí)，由及，得，(2分)

由(Ⅰ) 知，在上單調(diào)遞增，所以，

而，， 故．

∴當(dāng)時(shí)，也成立．

由①、②知，對(duì)任意都成立．(4分)

(Ⅲ)數(shù)列單調(diào)遞減．(1分)

理由如下：

當(dāng)時(shí)， ∴；

當(dāng)時(shí)，由得．

∵，(2分)

又由 (Ⅱ) 知，，∴，

∴，即

∴，

∴，∴．(3分)

綜上，數(shù)列單調(diào)遞減．

2.(湖南師大附中)(本小題滿(mǎn)分14分)已知函數(shù)

　 (Ⅰ)試判斷函數(shù)上單調(diào)性并證明你的結(jié)論；

　 (Ⅱ)若恒成立，求整數(shù)k的最大值；

　 (Ⅲ)求證：(1+1×2)(1+2×3)…[1+n(n+1)]>e^2n－3.

．解：(I)…………(2分)

　　 上是減函數(shù).……………………………………………………(4分)

　　 (II)

　　 即h(x)的最小值大于k.…………………………………………………………(6分)

　　 則上單調(diào)遞增，

　　 又

　　 存在唯一實(shí)根a，且滿(mǎn)足

當(dāng)

∴

故正整數(shù)k的最大值是3　　 ……………………9分

(Ⅲ)由(Ⅱ)知

∴　 ………………11分

令，則

∴l(xiāng)n(1+1×2)+ln(1+2×3)+…+ln[1+n(n+1)]

∴(1+1×2)(1+2×3)…[1+n(n+1)]>e^2n－3 　………………14分

1.(2008年濰坊市高三統(tǒng)一考試)

定義在的三個(gè)函數(shù)f(x)、g(x)、h(x),已知f(x)=lnx,g(x)= ,且g(x)在[1，2]為增函數(shù)，h(x)在(0，1)為減函數(shù).

(I)求g(x)，h(x)的表達(dá)式；

(II)求證：當(dāng)1<x< 時(shí)，恒有

(III)把h(x)對(duì)應(yīng)的曲線向上平移6個(gè)單位后得曲線，求與g(x)對(duì)應(yīng)曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說(shuō)明道理.

解(I)由題意：

∴恒成立.

又恒成立.

∴即

(II)

欲證：

只需證：

即證：

記

∴

∴當(dāng)x>1時(shí)，為增函數(shù)…………….9分

即

∴結(jié)論成立………………………………………………..10分

(III)由 (1)知：

∴對(duì)應(yīng)表達(dá)式為

∴問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求函數(shù)

即求方程：

即：

設(shè)

∴當(dāng)時(shí)，為減函數(shù).

當(dāng)時(shí)，為增函數(shù).

而的圖象開(kāi)口向下的拋物線

∴與的大致圖象如圖：

∴與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2個(gè).

即與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2個(gè).

7.(2008福建卷19)(本小題滿(mǎn)分12分)

　　已知函數(shù).

　(Ⅰ)設(shè){a_n}是正數(shù)組成的數(shù)列，前n項(xiàng)和為S_n，其中a₁=3.若點(diǎn)(n∈N*)在函數(shù)y=f′(x)的圖象上，求證：點(diǎn)(n,S_n)也在y=f′(x)的圖象上；

　(Ⅱ)求函數(shù)f(x)在區(qū)間(a-1,a)內(nèi)的極值.

本小題主要考查函數(shù)極值、等差數(shù)列等基本知識(shí)，考查分類(lèi)與整合、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想方法，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.滿(mǎn)分12分.

　　 (Ⅰ)證明：因?yàn)?sub>所以′(x)=x²+2x,

　　 由點(diǎn)在函數(shù)y=f′(x)的圖象上,

　　 又所以

　　 所以,又因?yàn)?sub>′(n)=n²+2n,所以,

　　 故點(diǎn)也在函數(shù)y=f′(x)的圖象上.

(Ⅱ)解:,

由得.

當(dāng)x變化時(shí),﹑的變化情況如下表:

注意到,從而

①當(dāng),此時(shí)無(wú)極小值；

②當(dāng)的極小值為,此時(shí)無(wú)極大值；

③當(dāng)既無(wú)極大值又無(wú)極小值.

6.(2008重慶卷20)(本小題滿(mǎn)分13分.(Ⅰ)小問(wèn)5分.(Ⅱ)小問(wèn)8分.)

　　設(shè)函數(shù)曲線y=f(x)通過(guò)點(diǎn)(0，2a+3)，且在點(diǎn)(-1，f(-1))

處的切線垂直于y軸.

(Ⅰ)用a分別表示b和c；

(Ⅱ)當(dāng)bc取得最小值時(shí)，求函數(shù)g(x)=-f(x)e^-x的單調(diào)區(qū)間.

解：(Ⅰ)因?yàn)?sub>

　　　　 又因?yàn)榍�線通過(guò)點(diǎn)(0，2a+3),

　　　　 故

　　　　 又曲線在(-1，f(-1))處的切線垂直于y軸，故

　　　　 即-2a+b=0,因此b=2a.

　　 (Ⅱ)由(Ⅰ)得

　　　　 故當(dāng)時(shí)，取得最小值-.

　　　　 此時(shí)有

　　　　 從而

　　　　 所以

　　　　 令，解得

　　　 　 當(dāng)

　　　　 當(dāng)

　　　　 當(dāng)

　　　　 由此可見(jiàn)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞，-2)和(2，+∞)；單調(diào)遞增區(qū)間為(-2，2).

5..(2008陜西卷21)．(本小題滿(mǎn)分12分)

已知函數(shù)(且，)恰有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)，其中一個(gè)是．

(Ⅰ)求函數(shù)的另一個(gè)極值點(diǎn)；

(Ⅱ)求函數(shù)的極大值和極小值，并求時(shí)的取值范圍．

解：(Ⅰ)，由題意知，

即得，(*)，．

由得，

由韋達(dá)定理知另一個(gè)極值點(diǎn)為(或)．

(Ⅱ)由(*)式得，即．

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．

(i)當(dāng)時(shí)，在和內(nèi)是減函數(shù)，在內(nèi)是增函數(shù)．

，

，

由及，解得．

(ii)當(dāng)時(shí)，在和內(nèi)是增函數(shù)，在內(nèi)是減函數(shù)．

，

恒成立．

綜上可知，所求的取值范圍為．

4..(2008湖南卷21)(本小題滿(mǎn)分13分)

已知函數(shù)f(x)=ln²(1+x)-.

(I)　 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

(Ⅱ)若不等式對(duì)任意的都成立(其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

求的最大值.

解: (Ⅰ)函數(shù)的定義域是，

設(shè)則

令則

當(dāng)時(shí)， 　在(-1，0)上為增函數(shù)，

當(dāng)x＞0時(shí)，在上為減函數(shù).

所以h(x)在x=0處取得極大值，而h(0)=0,所以，

函數(shù)g(x)在上為減函數(shù).

于是當(dāng)時(shí)，

當(dāng)x＞0時(shí)，

所以，當(dāng)時(shí)，在(-1，0)上為增函數(shù).

當(dāng)x＞0時(shí)，在上為減函數(shù).

故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-1，0)，單調(diào)遞減區(qū)間為.

(Ⅱ)不等式等價(jià)于不等式由知，

　 設(shè)則

由(Ⅰ)知，即

所以于是G(x)在上為減函數(shù).

故函數(shù)G(x)在上的最小值為

所以a的最大值為

3.(2008山東卷21)(本小題滿(mǎn)分12分)

已知函數(shù)其中n∈N*,a為常數(shù).

(Ⅰ)當(dāng)n=2時(shí)，求函數(shù)f(x)的極值；

(Ⅱ)當(dāng)a=1時(shí)，證明：對(duì)任意的正整數(shù)n,當(dāng)x≥2時(shí)，有f(x)≤x-1.

(Ⅰ)解：由已知得函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧x|x＞1}，

　　　 當(dāng)n=2時(shí)，

　　 所以　

(1)當(dāng)a＞0時(shí)，由f(x)=0得

＞1，＜1，

此時(shí)　 f′(x)=.

當(dāng)x∈(1，x₁)時(shí)，f′(x)＜0,f(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)x∈(x₁+∞)時(shí)，f′(x)＞0, f(x)單調(diào)遞增.

(2)當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)＜0恒成立，所以f(x)無(wú)極值.

綜上所述，n=2時(shí)，

當(dāng)a＞0時(shí)，f(x)在處取得極小值，極小值為

當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)無(wú)極值.

(Ⅱ)證法一：因?yàn)?i>a=1,所以

　　　　　 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，

令

則 g′(x)=1+＞0(x≥2).

所以當(dāng)x∈[2,+∞]時(shí)，g(x)單調(diào)遞增，

又　 g(2)=0

因此≥g(2)=0恒成立，

　　　　 所以f(x)≤x-1成立.

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，

　　　　 要證≤x-1,由于＜0，所以只需證ln(x-1) ≤x-1,

　　　　 令　　 h(x)=x-1-ln(x-1),

　　　　 則　　 h′(x)=1-≥0(x≥2),

　　　　 所以　 當(dāng)x∈[2，+∞]時(shí)，單調(diào)遞增，又h(2)=1＞0，

　　　 所以當(dāng)x≥2時(shí)，恒有h(x) ＞0,即ln(x-1)＜x-1命題成立.

綜上所述，結(jié)論成立.

證法二：當(dāng)a=1時(shí)，

　　　　 當(dāng)x≤2，時(shí)，對(duì)任意的正整數(shù)n，恒有≤1，

　　　　 故只需證明1+ln(x-1) ≤x-1.

　　　　 令

　　　　 則

　　　　 當(dāng)x≥2時(shí)，≥0，故h(x)在上單調(diào)遞增，

　　　　 因此　當(dāng)x≥2時(shí)，h(x)≥h(2)=0，即1+ln(x-1) ≤x-1成立.

　　　　 故　當(dāng)x≥2時(shí)，有≤x-1.

　　　　 即f(x)≤x-1.