2.能把一般的三角函數(shù)變形為y=Asin(ωx+φ)的形式,并能求解它的周期、最值、單調(diào)區(qū)間以及奇偶性、圖象的對稱性等問題。

1.掌握正、余弦函數(shù)，正余切函數(shù)的性質(zhì);

5．變?yōu)橹骶�、抓好訓(xùn)練

變是本章的主題，在三角變換考查中，角的變換，三角函數(shù)名的變換，三角函數(shù)次數(shù)的變換，三角函數(shù)式表達(dá)形式的變換等比比皆是，在訓(xùn)練中，強(qiáng)化變意識是關(guān)鍵，但題目不可太難，較特殊技巧的題目不做，立足課本，掌握課本中常見問題的解法，把課本中習(xí)題進(jìn)行歸類，并進(jìn)行分析比較，尋找解題規(guī)律。

針對高考中題目看，還要強(qiáng)化變角訓(xùn)練，經(jīng)常注意收集角間關(guān)系的觀察分析方法.另外如何把一個含有不同名或不同角的三角函數(shù)式化為只含有一個三角函數(shù)關(guān)系式的訓(xùn)練也要加強(qiáng)，這也是高考的重點.同時應(yīng)掌握三角函數(shù)與二次函數(shù)相結(jié)合的題目。

4．加強(qiáng)三角函數(shù)應(yīng)用意識的訓(xùn)練

1999年高考理科第20題實質(zhì)是一個三角問題，由于考生對三角函數(shù)的概念認(rèn)識膚淺，不能將以角為自變量的函數(shù)迅速與三角函數(shù)之間建立聯(lián)系，造成思維障礙，思路受阻.實際上，三角函數(shù)是以角為自變量的函數(shù)，也是以實數(shù)為自變量的函數(shù)，它產(chǎn)生于生產(chǎn)實踐，是客觀實際的抽象，同時又廣泛地應(yīng)用于客觀實際，故應(yīng)培養(yǎng)實踐第一的觀點.總之，三角部分的考查保持了內(nèi)容穩(wěn)定，難度穩(wěn)定，題量穩(wěn)定，題型穩(wěn)定，考查的重點是三角函數(shù)的概念、性質(zhì)和圖象，三角函數(shù)的求值問題以及三角變換的方法。

3．解答三角高考題的策略。

(1)發(fā)現(xiàn)差異：觀察角、函數(shù)運算間的差異，即進(jìn)行所謂的“差異分析”。

(2)尋找聯(lián)系：運用相關(guān)公式，找出差異之間的內(nèi)在聯(lián)系。

(3)合理轉(zhuǎn)化：選擇恰當(dāng)?shù)墓�式，促使差異的轉(zhuǎn)化。

2．證明三角等式的思路和方法。

(1)思路：利用三角公式進(jìn)行化名，化角，改變運算結(jié)構(gòu)，使等式兩邊化為同一形式。

(2)證明三角不等式的方法：比較法、配方法、反證法、分析法，利用函數(shù)的單調(diào)性，利用正、余弦函數(shù)的有界性，利用單位圓三角函數(shù)線及判別法等。

從近年高考的考查方向來看，這部分常常以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，有時也以大題的形式出現(xiàn)，分值約占5%因此能否掌握好本重點內(nèi)容，在一定的程度上制約著在高考中成功與否。

1．兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式在學(xué)習(xí)時應(yīng)注意以下幾點：

(1)不僅對公式的正用逆用要熟悉，而且對公式的變形應(yīng)用也要熟悉；

(2)善于拆角、拼角

如，等；

(3)注意倍角的相對性

(4)要時時注意角的范圍

(5)化簡要求

熟悉常用的方法與技巧，如切化弦，異名化同名，異角化同角等。

題型1：兩角和與差的三角函數(shù)

例1．已知，求cos。

分析：因為既可看成是看作是的倍角，因而可得到下面的兩種解法。

解法一：由已知sin+sin=1…………①，

cos+cos=0…………②，

①²+②²得 2+2cos；

∴ cos。

①²－②²得　 cos2+cos2+2cos()=－1，

即2cos()()=－1。

∴。

解法二：由①得…………③

由②得…………④

④÷③得

點評：此題是給出單角的三角函數(shù)方程，求復(fù)角的余弦值，易犯錯誤是利用方程組解sin、cos 、 sin 、 cos，但未知數(shù)有四個，顯然前景并不樂觀，其錯誤的原因在于沒有注意到所求式與已知式的關(guān)系本題關(guān)鍵在于化和為積促轉(zhuǎn)化，“整體對應(yīng)”巧應(yīng)用。

例2．已知求。

分析：由韋達(dá)定理可得到進(jìn)而可以求出的值，再將所求值的三角函數(shù)式用tan表示便可知其值。

解法一：由韋達(dá)定理得tan，

所以tan

解法二：由韋達(dá)定理得tan，

所以tan

，

。

點評：(1)本例解法二比解法一要簡捷，好的解法來源于熟練地掌握知識的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，從而尋找解答本題的知識“最近發(fā)展區(qū)”。(2)運用兩角和與差角三角函數(shù)公式的關(guān)鍵是熟記公式，我們不僅要記住公式，更重要的是抓住公式的特征，如角的關(guān)系，次數(shù)關(guān)系，三角函數(shù)名等抓住公式的結(jié)構(gòu)特征對提高記憶公式的效率起到至關(guān)重要的作用，而且抓住了公式的結(jié)構(gòu)特征，有利于在解題時觀察分析題設(shè)和結(jié)論等三角函數(shù)式中所具有的相似性的結(jié)構(gòu)特征，聯(lián)想到相應(yīng)的公式，從而找到解題的切入點。(3)對公式的逆用公式，變形式也要熟悉，如

題型2：二倍角公式

例3．化簡下列各式：

(1)，

(2)。

　 分析：(1)若注意到化簡式是開平方根和2以及其范圍不難找到解題的突破口；(2)由于分子是一個平方差，分母中的角，若注意到這兩大特征，，不難得到解題的切入點。

解析：(1)因為，

又因，

所以，原式=。

(2)原式=

　　 =。

點評：(1)在二倍角公式中，兩個角的倍數(shù)關(guān)系，不僅限于2是的二倍，要熟悉多種形式的兩個角的倍數(shù)關(guān)系，同時還要注意三個角的內(nèi)在聯(lián)系的作用，是常用的三角變換。(2)化簡題一定要找準(zhǔn)解題的突破口或切入點，其中的降次，消元，切割化弦，異名化同名，異角化同角是常用的化簡技巧。(3)公式變形，。

例4．若。

分析：注意的兩變換，就有以下的兩種解法。

解法一：由，

解法二：，

點評：此題若將的左邊展開成再求cosx，sinx的值，就很繁瑣，把，并注意角的變換2·運用二倍角公式，問題就公難為易，化繁為簡所以在解答有條件限制的求值問題時，要善于發(fā)現(xiàn)所求的三角函數(shù)的角與已知條件的角的聯(lián)系，一般方法是拼角與拆角，

如，

，

等。

題型3：輔助角公式

例5．已知正實數(shù)a,b滿足。

分析：從方程 的觀點考慮，如果給等式左邊的分子、分母同時除以a，則已知等式可化為關(guān)于程，從而可求出由，若注意到等式左邊的分子、分母都具有的結(jié)構(gòu)，可考慮引入輔助角求解。

解法一：由題設(shè)得

解法二：

解法三：

點評：以上解法中，方法一用了集中變量的思想，是一種基本解法；解法二通過模式聯(lián)想，引入輔助角，技巧性較強(qiáng)，但輔助角公式，，或

在歷年高考中使用頻率是相當(dāng)高的，應(yīng)加以關(guān)注；解法三利用了換元法，但實質(zhì)上是綜合了解法一和解法二的解法優(yōu)點，所以解法三最佳。

例6．(2000全國理，17)已知函數(shù)y＝cos²x+sinxcosx+1，x∈R.

(1)當(dāng)函數(shù)y取得最大值時，求自變量x的集合；

(2)該函數(shù)的圖象可由y＝sinx(x∈R)的圖象經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到?

(理)(1)解析：y＝cos²x+sinxcosx+1

＝(2cos²x－1)++(2sinxcosx)+1

＝cos2x+sin2x+

＝(cos2x·sin+sin2x·cos)+

＝sin(2x+)+

y取得最大值必須且只需2x+＝+2kπ，k∈Z，

即x＝+kπ，k∈Z。

所以當(dāng)函數(shù)y取得最大值時，自變量x的集合為{x|x＝+kπ，k∈Z}。

(2)將函數(shù)y＝sinx依次進(jìn)行如下變換：

①把函數(shù)y＝sinx的圖象向左平移，得到函數(shù)y＝sin(x+)的圖象；

②把得到的圖象上各點橫坐標(biāo)縮短到原來的倍(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)

y＝sin(2x+)的圖象；

③把得到的圖象上各點縱坐標(biāo)縮短到原來的倍(橫坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)

y＝sin(2x+)的圖象；

④把得到的圖象向上平移個單位長度，得到函數(shù)y＝sin(2x+)+的圖象；

綜上得到函數(shù)y＝cos²x+sinxcosx+1的圖象。

點評：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查利用三角公式進(jìn)行恒等變形的技能以及運算能力。

(2000全國文，17)已知函數(shù)y＝sinx+cosx，x∈R.

(1)當(dāng)函數(shù)y取得最大值時，求自變量x的集合；

(2)該函數(shù)的圖象可由y＝sinx(x∈R)的圖象經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到?

解析：(1)y＝sinx+cosx＝2(sinxcos+cosxsin)＝2sin(x+)，x∈R

y取得最大值必須且只需x+＝+2kπ，k∈Z，

即x＝+2kπ，k∈Z。

所以，當(dāng)函數(shù)y取得最大值時，自變量x的集合為{x|x＝+2kπ，k∈Z}

(2)變換的步驟是：

①把函數(shù)y＝sinx的圖象向左平移，得到函數(shù)y＝sin(x+)的圖象；

②令所得到的圖象上各點橫坐標(biāo)不變，把縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍，得到函數(shù)

y＝2sin(x+)的圖象；

經(jīng)過這樣的變換就得到函數(shù)y＝sinx+cosx的圖象。

點評：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用三角公式進(jìn)行恒等變形的技能及運算能力。

題型4：三角函數(shù)式化簡

例7．(1995全國理，22)求sin²20°+cos²50°+sin20°cos50°的值。

解析：原式＝(1－cos40°)+(1+cos100°)+(sin70°－sin30°)

＝1+(cos100°－cos40°)+sin70°－

＝－sin70°sin30°+sin70°

＝－sin70°+sin70°＝。

點評：本題考查三角恒等式和運算能力。

例8．(06北京理，15)已知函數(shù).

(Ⅰ)求的定義域；

(Ⅱ)設(shè)的第四象限的角，且，求的值。

解析：(Ⅰ)由 得，

故在定義域為 (Ⅱ)因為，且是第四象限的角,

　 所以

 故

　　　 。

題型5：三角函數(shù)求值

例9．(06重慶理，17)設(shè)函數(shù)f(x)=cos²cos+sinrcosx+a(其中＞0,aR),且f(x)的圖象在y軸右側(cè)的第一個高點的橫坐標(biāo)為。

(Ⅰ)求ω的值；

(Ⅱ)如果f(x)在區(qū)間上的最小值為，求a的值。

解析：(I)

依題意得 ．

(II)由(I)知，。

又當(dāng)時，，故，從而在區(qū)間上的最小值為，故

例10．(06上海理，17)求函數(shù)＝2+的值域和最小正周期。

解析：y=cos(x+) cos(x－)+sin2x=cos2x+sin2x=2sin(2x+)，

∴函數(shù)y=cos(x+) cos(x－)+sin2x的值域是[－2,2],最小正周期是π。

題型6：三角函數(shù)綜合問題

例11．已知向量

　　　 (I)若求　　 (II)求的最大值。

解析：(1)_；

當(dāng)=1時有最大值,此時_，最大值為_。

點評：本題主要考察以下知識點：1、向量垂直轉(zhuǎn)化為數(shù)量積為0；2，特殊角的三角函數(shù)值；3、三角函數(shù)的基本關(guān)系以及三角函數(shù)的有界性；4.已知向量的坐標(biāo)表示求模，難度中等，計算量不大。

例12．(2001天津理，22)設(shè)0<θ<，曲線x²sinθ+y²cosθ=1和x²cosθ－y²sinθ=1有4個不同的交點。

(1)求θ的取值范圍；

(2)證明這4個交點共圓，并求圓半徑的取值范圍。

解析：(1)解方程組，得；

故兩條已知曲線有四個不同的交點的充要條件為，(0<θ<)0<θ<。

(2)設(shè)四個交點的坐標(biāo)為(x_i，y_i)(i=1，2，3，4)，則：x_i²+y_i²=2cosθ∈(，2)(i=1，2，3，4)。

故四個交點共圓，并且這個圓的半徑r=cosθ∈().

點評：本題注重考查應(yīng)用解方程組法處理曲線交點問題，這也是曲線與方程的基本方法，同時本題也突出了對三角不等關(guān)系的考查。

題型7：三角函數(shù)的應(yīng)用

例13．有一塊扇形鐵板，半徑為R，圓心角為60°，從這個扇形中切割下一個內(nèi)接矩形，即矩形的各個頂點都在扇形的半徑或弧上，求這個內(nèi)接矩形的最大面積．

分析：本題入手要解決好兩個問題，

(1)內(nèi)接矩形的放置有兩種情況，如圖2-19所示，應(yīng)該分別予以處理；

(2)求最大值問題這里應(yīng)構(gòu)造函數(shù)，怎么選擇便于以此表達(dá)矩形面積的自變量。

解析：如圖2-19(1)設(shè)∠FOA=θ，則FG＝Rsinθ，

，

。

又設(shè)矩形EFGH的面積為S，那么

又∵0°＜θ＜60°，故當(dāng)cos(2θ－60°)＝1，即θ=30′時，

如圖2-19 (2)，設(shè)∠FOA＝θ，則EF＝2Rsin(30°－θ)，在△OFG中，∠OGF＝150°

設(shè)矩形的面積為S．

那么S＝EFFG＝4R²sinθsin(30°-θ)

＝2R²［cos(2θ－30°)－cos30°]

又∵0＜θ＜30°，故當(dāng)cos(2θ－30°)＝1

。

5．三角等式的證明

(1)三角恒等式的證題思路是根據(jù)等式兩端的特征，通過三角恒等變換，應(yīng)用化繁為簡、左右同一等方法，使等式兩端化“異”為“同”；

(2)三角條件等式的證題思路是通過觀察，發(fā)現(xiàn)已知條件和待證等式間的關(guān)系，采用代入法、消參法或分析法進(jìn)行證明。

4．三角函數(shù)的求值類型有三類

(1)給角求值：一般所給出的角都是非特殊角，要觀察所給角與特殊角間的關(guān)系，利用三角變換消去非特殊角，轉(zhuǎn)化為求特殊角的三角函數(shù)值問題；

(2)給值求值：給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵在于“變角”，如等，把所求角用含已知角的式子表示，求解時要注意角的范圍的討論；

(3)給值求角：實質(zhì)上轉(zhuǎn)化為“給值求值”問題，由所得的所求角的函數(shù)值結(jié)合所求角的范圍及函數(shù)的單調(diào)性求得角。