572. 斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面△ABC中，AB=AC=10，BC=12，A₁到A、B、C三點的距離都相等，且AA1=13，求斜三棱柱的側面積。

解析：∵A₁A=A₁B=A₁C

∴ 點A₁在平面ABC上的射影為△ABC的外心，在∠BAC平分線AD上

∵ AB=AC

∴ AD⊥BC

∵ AD為A₁A在平面ABC上的射影

∴ BC⊥AA₁

∴ BC⊥BB₁

∴ BB₁C₁C為矩形，S=BB₁×BC=156

取AB中點E，連A₁E

∵ A₁A=A₁B

∴ A₁E⊥AB

∴

∴

∴ S_側=396

571. 正三棱錐的側棱等于10cm，側面積等于144cm²，求棱錐的底面邊長和斜高。

解析：設底面邊長為a，斜高為h’

則

∴ 或

570. 正四棱錐棱長均為a，(1)求側面與底面所成角α；(2)若相鄰兩側面所成角為β，求證：β=2α。

解析：如圖，正四棱錐S-ABCD，SO、SF分別為高、斜高，∠SFO為二面角S-AB-O平面角，∠SFO=α，在△SBC中，作BE⊥SC，E為垂足，連DE

∵ △BCE≌△DCE

∴ DE⊥SC

∴∠BED為側面B-SC-D平面角，∠BED=β

　 (1)

∴

∴

∴

　 (2)連EO

∵

∴

∵

∴ 由得：

∴ β=2α

569. 四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是菱形，A₁B=A₁D，求證：(1)對角面AA₁C₁C⊥截面A₁BD；(2)對角面D₁DBB₁是矩形

解析：(1)∵ABCD是菱形，∴BD⊥AC

設BD∩AC=0，又A₁B=A₁D，

∴ BD⊥A₁O

∵ A₁O∩AC=O

∴ BD⊥平面AA₁C₁C

∴ 平面A₁BD⊥對角面AA₁C₁C

(1)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 由(1)，BD⊥平面AC₁

∴ BD⊥AA₁

又DD₁∥AA₁

∴ BD⊥DD₁

568. 正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁B與對角面A₁B₁CD所成角為30⁰，求證：此四棱柱為正方體。

解析：∵ A₁B₁⊥平面B₁C

∴ 平面A₁B₁CD⊥平面BC₁，交線為B₁C

在平面B₁C內(nèi)作BO⊥B₁C，O為垂足，連A₁O

則BO⊥平面A₁B₁CD

∴ ∠BA₁O為BA₁與平面A₁B₁CD所成的角

∴ ∠BA₁O=30⁰

設正四棱柱底面邊長為a，高為h

則

∵　sin∠BA₁O=

∴

∴ a²+h²=2ah

∴ a=h

∴ 正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁為正方體

567. 一個正棱錐的一個側面與底面所成角是θ，底面積Q，則它的側面積是________。

解析： Qsecθ 　正棱錐的底面是側面在底面上的射影，利用面積射影定理

566. 正六棱柱的高為5cm，最長對角線為13cm，它的側面積是__________。

解析： 180cm² 　設正六棱柱底面邊長為a，高為h，則h²+(2a)²=13²，h=5，∴a=6，∴側面積=6ah=180

565. 正n棱柱每相鄰兩個側面所成二面角度數(shù)為__________。

解析：　 底面正多邊形的每一個內(nèi)角為某兩個鄰面所成二面角的平面角，正n邊形內(nèi)角度數(shù)為

564. 正四棱柱的一個側面面積為S，則它的對角面面積是__________。

解析：　 設正棱柱底面邊長為a，高為h，則ah=S，對角面面積為

563. 在四棱錐的四個側面中，直角三角形最多可有

A、1個　　　　　 B、2個　　　　　 C、3個　　　　　 D、4個

解析：D。 如圖，ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，則P-ABCD的四個側面均為直角三角形