383. 四面體ABCD的四個(gè)面中，是直角三角形的面至多有　　　　　　　 (　 )

(A)1個(gè)　　　　　 (B)2個(gè)

(C)3個(gè)　　　　　 (D)4個(gè)

解析：(D)

設(shè)底面為直角三角形，從底面的一個(gè)銳角頂點(diǎn)作平面的垂線，則這樣的四面體的每個(gè)面都是直角三角形．

382. 如圖，ABCD為直角梯形，∠DAB＝∠ABC＝90°，AB＝BC＝a，AD＝2a，PA⊥平面ABCD，PA＝a．

(1)　　　　　 求證：PC⊥CD；

(2)　　　　　 求點(diǎn)B到直線PC的距離．

解析：(1)要證PC與CD垂直，只要證明AC與CD垂直，可按實(shí)際情形畫出底面圖形進(jìn)行證明．(2)從B向直線PC作垂直，可利用△PBC求高，但需求出三邊，并判斷其形狀(事實(shí)上，這里的∠PBC＝90°)；另一種重要的思想是：因PC在平面PAC中，而所作BH為平面PAC的斜線，故關(guān)鍵在于找出B在平面PAC內(nèi)的射影，因平面PAC處于“豎直狀態(tài)”，則只要從B作“水平”的垂線，可見也只要從B向AC作垂線便可得其射影．

證明　(1)取AD的中點(diǎn)E，連AC，CE，

則ABCE是正方形，△CED為等腰直角三角形．

∴AC⊥CD，∵PA⊥平面ABCD，∴AC為PC在平面ABCD上的射影，∴PC⊥CD；

解　(2)連BE交AC于O，則BE⊥AC，

又BE⊥PA，AC∩PA＝A，∴BE⊥平面PAC．

過(guò)O作OH⊥PC于H，連BH，則BH⊥PC．

∵PA＝a，AC＝，∴PC＝，則OH＝，

∵BO＝，∴BH＝

381. 如圖，在正方體ABCD－A₁B₁C₁D₁中，M是棱A₁A的中點(diǎn)，N在AB上，且AN∶NB＝1∶3，求證：C₁M⊥MN．

解析：在空間中作出兩條直線垂直相對(duì)較在平面內(nèi)作兩條直線垂直難．此題C₁M與MN是相交直線，一種方法可通過(guò)勾股定理來(lái)驗(yàn)證它是否垂直，另一方法為：因MN是平面A₁ABB₁內(nèi)的一條直線，可考慮MC₁在平面A₁ABB₁內(nèi)的射影．

證明1　設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則MN＝，

C₁M＝，C₁N＝，

∵M(jìn)N²+MC₁²＝NC₁²，∴C₁M⊥MN．

證明2　連結(jié)B₁M，∵C₁B₁⊥平面A₁ABB₁，

∴B₁M為C₁M在平面A₁ABB₁上的射影．

設(shè)棱長(zhǎng)為a ，∵AN＝，AM＝，∴tan∠AMN＝，

又tan∠A₁B₁M＝，則∠AMN＝∠A₁B₁M，∴B₁M⊥MN，

由三垂線定理知，C₁M⊥MN．

380. 如圖，在正四面體ABCD中。各面都是全等的正三角形的四面體，M為AD的中點(diǎn)，求CM與平面BCD所成角的余弦值．

解析：要作出CM在平面BCD內(nèi)的射影，關(guān)鍵是作出M在平面BCD內(nèi)的射影，而M為AD的中點(diǎn)，故只需觀察A在平面BCD內(nèi)的射影，至此問(wèn)題解法已明朗．

解　作AO⊥平面BCD于O，連DO，作MN⊥平面BCD于N，則N∈OD．

設(shè)AD＝a，則OD＝，∴AO＝，∴MN＝．

又∵CM＝，∴CN＝．

∴CM與平面BCD所成角的余弦值為．

379. Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝36，若平面ABC外一點(diǎn)P與平面A，B，C三點(diǎn)等距離，且P到平面ABC的距離為80，M為AC的中點(diǎn)．

(1)求證：PM⊥AC；

(2)求P到直線AC的距離；

(3)求PM與平面ABC所成角的正切值．

解析：點(diǎn)P到△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)等距離，則P在平面ABC內(nèi)的射影為△ABC的外心，而△ABC為直角三角形，其外心為斜邊的中點(diǎn)．

證明　(1)∵PA＝PC，M是AC中點(diǎn)，∴PM⊥AC

　　 解　(2)∵BC＝36，∴MH＝18，又PH＝80，

∴PM＝，即P到直線AC的距離為82；

(3)∵PM=PB=PC，∴P在平面ABC內(nèi)的射線為△ABC的外心，

　　　 ∵∠C=90°　 ∴P在平面ABC內(nèi)的射線為AB的中點(diǎn)H。

　　　 ∵PH⊥平面ABC，∴HM為PM在平面ABC上的射影，

則∠PMH為PM與平面ABC所成的角，∴tan∠PMH＝

378. 如圖，在正方體ABCD－A₁B₁C₁D₁中，求：

(1)A₁B與平面A₁B₁CD所成的角；

(2)B₁B在平面A₁C₁B所成角的正切值．

解析：　求線面成角，一定要找準(zhǔn)斜線在平面內(nèi)的射影．

(1)先找到斜足A₁，再找出B在平面A₁B₁CD內(nèi)的射影，即從B向平面A₁B₁CD作垂線，一定要證明它是平面A₁B₁CD的垂線．

這里可證BC₁⊥平面A₁B₁CD，O為垂足，

∴A₁O為A₁B在平面A₁B₁CD上的射影．

(2)若將平面D₁D₁BB豎直放置在正前方，則A₁C₁橫放在正前方，估計(jì)B₁B在平面A₁C₁B內(nèi)的射影應(yīng)落在O₁B上，這是因?yàn)锳₁C₁⊥平面D₁DBB₁，∴故作B₁H⊥O₁B交于H時(shí)，BH₁⊥A₁C₁，即H為B₁在平面A₁C₁B內(nèi)的射影．另在求此角大小時(shí)，只要求∠B₁BO₁即可．

解析：(1)如圖，連結(jié)BC₁，交B₁C于O，連A₁O．　

∵A₁B₁⊥平面B₁BCC₁，BC₁平面B₁BCC₁，∴A₁B₁⊥BC₁．

又B₁C⊥BC₁，A₁B₁∩B₁C＝B₁，

∴BC₁⊥平面A₁B₁CD，O為垂足，

∴A₁O為A₁B在平面A₁B₁CD上的射影，

則∠BA₁O為A₁B與平面A₁B₁CD所成的角．

sin∠BA₁O＝，∴∠BA₁O＝30°．

(2)連結(jié)A₁C₁交B₁D₁于O₁，連BO₁，

作B₁H⊥BO₁于H．∵A₁C₁⊥平面D₁DBB₁，∴A₁C₁⊥B₁H．

又B₁H⊥BO₁，A₁C₁∩BO₁＝O₁，∴B₁H⊥平面A₁C₁B，

∴∠B₁BO₁為B₁B與平面A₁C₁B所成的角，

tan∠B₁BO =，即B₁B與平面A₁C₁B所成的角的正切值為．

377. Rt△ABC中，D是斜邊AB的中點(diǎn)，AC＝6，BC＝8，EC⊥平面ABC，且EC＝12，則ED＝　　　．

解析：13．

AB＝10，∴CD＝5，則ED＝＝13．

376. △ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C到平面α的距離分別為2cm, 3cm, 4cm , 且它們?cè)讦恋耐�一�?cè)，則△ABC的重心到平面α的距離為　　 ．

解析：3cm ．

＝3cm ．

375. 線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)A，B到平面α的距離分別為6cm, 9cm, P在線段AB上，AP：PB＝1：2，則P到平面α的距離為　　　．

解析：7cm或1cm．

分A，B在平面α的同側(cè)與異側(cè)兩種情況．同側(cè)時(shí)，P到平面α的距離為＝7(cm)，異側(cè)時(shí)，P到平面α的距離為＝1(cm)．

374. P為矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)，且PA⊥平面ABCD，P到B，C，D三點(diǎn)的距離分別是，，，則P到A點(diǎn)的距離是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

(A)1　　　 (B)2　　　 (C)　　 (D)4　

解析：(A)

設(shè)AB＝a，BC＝b，PA＝h，則a²+h²=5, b²+h²=13, a²+b²+h²=17,∴h=1．