0  446492  446500  446506  446510  446516  446518  446522  446528  446530  446536  446542  446546  446548  446552  446558  446560  446566  446570  446572  446576  446578  446582  446584  446586  446587  446588  446590  446591  446592  446594  446596  446600  446602  446606  446608  446612  446618  446620  446626  446630  446632  446636  446642  446648  446650  446656  446660  446662  446668  446672  446678  446686  447090 

542.經(jīng)過平面外一點(diǎn)只有一個(gè)平面和已知平面平行.

已知:Aα,A∈β,β∥α

求證:β是唯一的.

證:設(shè)l過A點(diǎn),且l⊥α,這樣的直線是唯一的.

又β∥α,則β⊥l,過點(diǎn)A與α平面的平面一定和l垂直.

∵過點(diǎn)A和直線l垂直的平面是唯一的.

∴過點(diǎn)A和α平行的平面是唯一的.

試題詳情

541.  如圖,已知直線a∥平面α;求證:過a有且只有一個(gè)平面平行于α.

證明  (1)存在性:設(shè)過a的平面與α交于a′,∵a∥α,∴a∥a′.在α上,設(shè)直線b′∩a′=A′,在a上取點(diǎn)A,A與b′確定平面δ,在δ上過A作b∥b′.則a、b是相交直線(若重合,則顯然b′∥a′,矛盾).∴a,b確定平面β,則β∥α.

(2)唯一性:設(shè)過a還有一個(gè)平面π∥α,∵π與δ有公共點(diǎn)A,∴π與δ相交于過A的直線b″,又π∥a,δ∩b′,∴b″∥b′,∴b″∥b,而b″與b都過點(diǎn)A,故重合,故π與β重合.

試題詳情

540. 如圖,已知正方體ABCD-A1B1C1D1,求證:(1)平面AB1D1∥平面C1BD;(2)對(duì)角線A1C被平面AB1D1和平面C1BD三等分.

解析:本題若根據(jù)“一個(gè)平面內(nèi)兩條相交的直線分別與另一平面內(nèi)兩條相交的直線平行,則兩平面平行”是很容易解決論證平面AB1D1∥平面C1BD的,但兼顧考慮(2)的論證,(1)我們還是采用“兩平面垂直于同一直線則兩平面平行”的判定的方法.

證:(1)連AC,∵BD⊥AC,AC是A1C在底面上的射影,由三條垂線定理得A1C⊥BD,同理可證A1C⊥BC1.

∴A1C⊥平面C1BD,同理也能證得A1C⊥平面AB1D1.

∴平面AB1D1∥平面C1BD.

(2)設(shè)A1到平面AB1D1的距離為h,正方體的棱長為a,則有:(a)2a2.

∴h=a.同理C到平面C1BD的距離也為a,而A1C=a.故A1C被兩平行平面三等分.

評(píng)析:論證A1C被兩平行平面三等分,關(guān)鍵是求A1到平面AB1D1的距離,C到平面C1BD的距離,這里用三棱錐體積的代換,若不用體積代換,則可以在平面A1ACC1中去考慮:

連A1C1,設(shè)A1C1∩B1D1=O1,AC∩BD=0,如圖連AO1,C1O,AC1,設(shè)AC1∩A1C=K.A1C∩AO1=M,C1O∩A1C=N.可證M為ΔA1AC1的重心,N為ΔACC1的重心,則可推知MN=NC=A1M.

另外值得說明的是:A1C是面AB1D1和面BC1D的公垂線.

異面直線AD1和C1D的距離也等于MN.

試題詳情

539.  如圖,在三棱錐S-ABC中,A1、B1、C1分別是ΔSBC、ΔSCA、ΔSAB的重心,(1)求證:平面A1B1C1∥平面ABC;(2)求三棱錐S-A1B1C1與S-ABC體積之比.

解析:本題顯然應(yīng)由三角形重心的性質(zhì),結(jié)合成比例線段的關(guān)系推導(dǎo)出“線線平行”再到“線面平行”到“面面平行”,至于體積的比的計(jì)算只要能求出相似三角形面積的比和對(duì)應(yīng)高的比就可以了.

證:(1):∵  A1、B1、C1是ΔSBC、ΔSCA、ΔSAB的重心,連SA1、SC1并延長交BC、AB于N、M,則N、M必是BC和AB的中點(diǎn).連MN

,

∴A1C1∥MN.

∵M(jìn)N平面ABC,

∴A1C1∥平面ABC.

同理可證  A1B1∥平面ABC.

∴  平面A1B1C1∥平面ABC.

(2)由(1),MNAC,

∴A1C1AC.

同理可證:A1B1AB,

B1C1BC.

∴  ΔA1B1C1≌ΔABC,

SSΔABC.

設(shè)三棱錐S-ABC的高為h,S-A1B1C1的高為h1則有:,∴h1h.

.

評(píng)析:要掌握線面平行的相互轉(zhuǎn)化的思想方法外,還要有扎實(shí)的相似形和線段成比例的基礎(chǔ).

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538.  如圖,已知線段PQ、PD、QF分別和平行平面α、β交于A、B、C、D、E、F,若AP=BQ,求證:SΔACF=SΔBDE.

解析: 由已知得AC∥BD,EB∥AF,∠CAF=∠EBD,又AC∶BD=PA∶PB=QB∶QA=EB∶AF,∴AC·AF·sin∠CAF=BE·BD·sin∠DBE.∴SΔACF=SΔBDE.

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537. 已知A,B∈平面α,C,D∈平面β,α∥β,AB=13,BD=15,AC、BD在平面α上的射影長之和是14,求AC、BD在平面α上的射影長,以及平面α、β的距離.

解  如圖,設(shè)α、β的距離是h,則AC在α內(nèi)的射影長是,BD在α內(nèi)的射影長是.

根據(jù)題意,+=14.

解這個(gè)方程,h=12.

∴  =5, =9.

故AC、BD在平面α上的射影長分別是5和9,平面α、β的距離是12.

點(diǎn)評(píng)  平行平面間距離通常轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離或線面距離最終轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離.

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536.  已知直線a、b、c,平面α∩平面β=a,bα,cβ,且b與c無公共點(diǎn),則b與c不平行的充要條件是(   )

A.b、c都與α相交            B.b、c中只有一條與α相交

C.b、c中至多一條與α相交        D.b、c中至少有一條與α相交

解析:本題考查直線與直線的位置關(guān)系,直線與平面的位置關(guān)系,充要條件,以及空間想象能力和等價(jià)轉(zhuǎn)化能力.

解法一:若直線b與c不平行,又由b與c無公共點(diǎn),則b與c必定異面,根據(jù)異面直線的定義和線面位置關(guān)系可知或者b與c都與a相交,或者b、c中有一條與a相交,另一條與a平行,即b、c中至少有一條與α相交,即D成立;反之,當(dāng)D成立時(shí),不難證明b與c必不平行,所以應(yīng)選D.

解法二:由題設(shè)及異面直線的定義可知,若b、c都與a相交能推出b與c異面,即b與c不平行;反過來,b與c不平行不一定推出b、c都與a相交,即A是充分非必要條件,而不是充要條件,同理,B也是充分非必要條件,而非充要條件,又由b、c中至多有一條與a相交,包含b、c中有一條與a相交和b、c都不與a相交兩種情形,而對(duì)于后者,即b∥a且c∥a,則b∥c.故c既非充分又非必要條件,綜上所述,排除A、B、C三個(gè)選擇項(xiàng),從而選擇D.

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535.  有四個(gè)命題

(1)一條直線和另一條直線平行,它就和經(jīng)過另一條直線的任何平面平行

(2)一條直線和一個(gè)平面平行,它就和這個(gè)平面內(nèi)的任何直線平行

(3)平行于同一平面的兩條直線平行

(4)如果直線a∥平面α,a平面β,且α∩β=b,則a∥b.

其中假命題共有(   )

A.1個(gè)       B.2個(gè)       C.3個(gè)        D.4個(gè)

解析:此題考查線線位置關(guān)系和線面位置關(guān)系,以及空間想象能力.一條直線和另一條直線平行,它可能在經(jīng)過另一條直線的平面內(nèi),故(1)是假命題.一條直線和另一個(gè)平面平行,它與這個(gè)平面的直線可能平行,也可能異面,故(2)也是假命題,又平行于同一平面的兩條直線,也可能平行,也可能異面或相交,故(3)也是假命題,而命題(4)是真命題,也是線面平行的性質(zhì)定理.故選C。

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534.  點(diǎn)A為異面直線a、b外一點(diǎn),過A與a、b都平行的平面(   )

A.只有一個(gè)       B.只有兩個(gè)

C.至多有一個(gè)      D.有無數(shù)個(gè)

解析:本題考查線線位置關(guān)系,線面位置關(guān)系,平面基本性質(zhì),以及空間想象能力

解法一:過點(diǎn)A作a′∥a,b′∥b,根據(jù)公理3,a′與b′確定一個(gè)平面為α,則異面直線a與b至多有一條在α內(nèi),當(dāng)a、b都不在α內(nèi)時(shí),過A與a、b都平行的平面恰有一個(gè),即α;當(dāng)a、b中有一條在α內(nèi)時(shí),過A與a、b都平行的平面不存在,故選C.

解法二:過異面直線a、b分別作平面α、β使α∥β,若點(diǎn)A在α或β上,則過A與a、b都平行的平面不存在;若點(diǎn)A在α外且在β上,則過A恰有一個(gè)平面平行于α、β,則過點(diǎn)A與a、b都平行的平面恰有一個(gè).

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533. 已知:如圖,α∥β,異面直線AB、CD和平面α、β分別交于A、B、C、D四點(diǎn),E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn),求證:(1)E、F、G、H共面;(2)面EFGH∥平面α.

證明  (1)∵E、H分別是AB、DA的中點(diǎn),∴EHBD.同理FGBD.∴FGEH.∴四邊形EFGH是平行四邊形,即E、F、H、G共面.

(2)平面ABD和平面α有一個(gè)公共點(diǎn)A,設(shè)兩平面交于過點(diǎn)A的直線AD′∴α∥β,∴   AD′∥BD.又∵BD∥EH,∴EH∥BD∥AD′.∴EH∥平面α,EH∥平面β,同理FG∥平面α,F(xiàn)G∥平面β.

∴平面EFHG∥平面α∥平面β.

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同步練習(xí)冊(cè)答案