Question

一個四位數(shù)除以它后兩位數(shù)字組成的兩位數(shù)，余數(shù)恰好是它前兩位數(shù)字組成的兩位數(shù)．如果它后兩位數(shù)字組成的兩位數(shù)是質數(shù)，那么原來的四位數(shù)是多少？

Answer 1

考點：質數(shù)與合數(shù)問題

專題：整除性問題

分析：設這個四個位數(shù)的前兩位數(shù)和后兩位數(shù)分別為a，b（b為質數(shù)），根據(jù)題意，可得：100a+b=mb+a，整理，可得99a=（m-1）b，即3×3×11a=（m-1）b…①；因為b是質數(shù)，所以m-1是9的倍數(shù)，設m-1=9n…②，因為余數(shù)小于除數(shù)，所以a＜b，因此m-1＜99，判斷出m、n的取值，由①②，可得b=

a

n

×11，因此b的因數(shù)有

a

n

和11，求出a的值，進而求出b的值和原來的四位數(shù)是多少即可．

解答： 解：設這個四個位數(shù)的前兩位數(shù)和后兩位數(shù)分別為a，b（b為質數(shù)），
根據(jù)題意，可得：100a+b=mb+a，
整理，可得99a=（m-1）b，
即3×3×11a=（m-1）b…①；
因為b是質數(shù)，所以m-1是9的倍數(shù)，
設m-1=9n…②，
因為余數(shù)小于除數(shù)，所以a＜b，
因此m-1＜99，
則m-1=9、18、27、36、45、54、63、72、81、90，
可得n=1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，
由①②，可得b=

a

n

×11，
因此b的因數(shù)有

a

n

和11，
則

a

n

=1，a是兩位數(shù)，
所以a=n=10，此時b=11，1011÷11=91…10，
即原來的四位數(shù)是1011．
答：原來的四位數(shù)是1011．

點評：此題主要考查了質數(shù)的特征的應用，解答此題的關鍵是判斷出這個四位數(shù)前兩位數(shù)字和后兩位數(shù)字的關系．