Question

一個(gè)偶數(shù)恰有6個(gè)約數(shù)不是3的倍數(shù)，恰有8個(gè)約數(shù)不是5的倍數(shù)．請(qǐng)問(wèn)：這個(gè)偶數(shù)是多少？

Answer 1

考點(diǎn)：約數(shù)個(gè)數(shù)與約數(shù)和定理

專題：整除性問(wèn)題

分析：首先根據(jù)約數(shù)個(gè)數(shù)的計(jì)算方法，得出所含數(shù)個(gè)數(shù)的可能性，進(jìn)一步從最小的質(zhì)數(shù)分析探討得出答案即可．

解答： 解：6=2×3=（1+1）×（1+2），
因此，要讓這個(gè)偶數(shù)恰有6個(gè)約數(shù)不是3的倍數(shù)，那么這個(gè)偶數(shù)可以包含：2×5×5，
8=2×4=（1+1）×（1+3），8=1×8
因此，要讓這個(gè)偶數(shù)恰有8個(gè)約數(shù)不是5的倍數(shù)，那么這個(gè)偶數(shù)可以包含：2×3×3×3，2×2×2×2×2×2×2，
這樣，同時(shí)滿足上兩個(gè)條件的最小公倍數(shù)是：
2×5×5×3×3×3=1350，或2×2×2×2×2×2×2×5×5=3200（不是3的倍數(shù)有24個(gè)不合題意舍去）；
所以這個(gè)偶數(shù)是1350．

點(diǎn)評(píng)：此題主要利用約數(shù)個(gè)數(shù)的計(jì)算方法：一個(gè)合數(shù)的約數(shù)的個(gè)數(shù)是在嚴(yán)格分解質(zhì)因數(shù)之后，將每個(gè)質(zhì)因數(shù)的指數(shù)（次數(shù)）加1后所得的乘積．