Question

已知甲、乙兩個(gè)自然數(shù)的最大公約數(shù)是6，兩數(shù)之和為1998．滿足上述條件的數(shù)一共有多少組？

Answer 1

考點(diǎn)：公約數(shù)與公倍數(shù)問(wèn)題

專題：整除性問(wèn)題

分析：設(shè)甲乙獨(dú)有的因數(shù)分別是x、y，（x、y互質(zhì)），則x+y=1998÷6=333，因?yàn)?33÷2=166…，用166減去甲乙獨(dú)有的因數(shù)中均含因數(shù)3的數(shù)的個(gè)數(shù)，再減去甲乙獨(dú)有的因數(shù)中均含因數(shù)37的數(shù)的個(gè)數(shù)，求出滿足條件的數(shù)一共有多少組即可．

解答： 解：設(shè)甲乙獨(dú)有的因數(shù)分別是x、y，（x、y互質(zhì)），
則x+y=333，
因?yàn)?33÷2=166…，
甲乙獨(dú)有的因數(shù)中均含因數(shù)3的數(shù)的個(gè)數(shù)：166÷3=55…1，
即甲乙獨(dú)有的因數(shù)中均含因數(shù)3的數(shù)的個(gè)數(shù)是55，
由x=37時(shí)，y=37×8；x=37×2時(shí)，y=37×7；x=37×4時(shí)，y=37×5；
可得甲乙獨(dú)有的因數(shù)中均含因數(shù)37的數(shù)的個(gè)數(shù)是3，
所以滿足上述條件的數(shù)一共有：
166-55-3=108（組）．
答：滿足條件的數(shù)一共有108組．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了公約數(shù)和公倍數(shù)問(wèn)題的應(yīng)用，解答此題的關(guān)鍵是判斷出甲乙獨(dú)有的因數(shù)中均含因數(shù)3、37的數(shù)的個(gè)數(shù)．