Question

如圖，四邊形ABCD是邊長為a的正方形，點G，E分別是邊AB，BC的中點，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分線CF于點F．
（1）證明：△AGE≌△ECF；
（2）連接GD，DF．判斷四邊形GEFD的形狀，并說明理由．

Answer 1

考點：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）G、E分別為AB、BC的中點，由正方形的性質(zhì)可知AG=EC，△BEG為等腰直角三角形，則∠AGE=180°-45°=135°，而∠ECF=90°+45°=135°，得∠AGE=∠ECF，再利用互余關(guān)系，得∠GAE=90°-∠AEB=∠CEF，ASA可證△AGE≌△ECF；
（2）過點F作FM⊥BH于M，過F作FN⊥DC于N，首先證明△AGD≌△ABE，所以GD=AE，再證明△AGD≌△EFM，所以GD=EF，再通過證明△DFN≌△BGE可得到DF=GE，所以四邊形GEFD是平行四邊形．

解答：證明：∵正方形ABCD，點G，E為邊AB、BC中點，
∴AG=EC，△BEG為等腰直角三角形，
∴∠AGE=180°-45°=135°，
又∵CF為正方形外角平分線，
∴∠ECF=90°+45°=135°，
∵∠AEF=90°，
∴∠GAE=90°-∠AEB=∠CEF，
在△AGE和△ECF中，

∠AGE=∠CF AG=CE ∠GAE=∠CEF

，
∴△AGE≌△ECF（ASA）；
（2）四邊形GEFD是平行四邊形，
理由如下：過點F作FM⊥BH于M，過F作FN⊥DC于N，
易證△AGD≌△ABE，
∴GD=AE，∠BAE=∠ADG，
∵△AGE≌△ECF，
∴AE=EF，
∴GD=EF，
在△AGD和△EFM中，

∠DAG=∠FHE=90° ∠ADG=∠FEH GD=FE

，
∴△AGD≌△EFM（AAS），
∴GD=EF，
在△DFN和△BGE中，

DN=BE ∠DNF=∠B=90° NF=BG

，
∴△DFN≌△BGE（SAS），
∴DF=GE，
∴四邊形GEFD是平行四邊形．

點評：此題主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等；綜合性較強，難度適中．