Question

如圖，在平面直角坐標系中，點A在x軸負半軸上，點B的坐標是（0，2），過點B作BC⊥AB交x軸于點C，過點C作CD⊥BC交y軸于點D，過點D作DE⊥CD交x軸于點E，過點E作EF⊥DE交y軸于點F，若EA=3AC．
（1）求證：△CBA∽△EDC；
（2）請寫出點A，點C的坐標（解答過程可不寫）；
（3）求出線段EF的長．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質,坐標與圖形性質

專題：

分析：（1）利用兩角相等得出三角形相似；
（2）設出點A，利用一次函數的性質，設出BC的解析式，求得斜率，進一步得出CD、DE、AB的解析式，結合EA=3AC得出結論；
（3）由（2）得出點E坐標，設出EF解析式，求得點F坐標，進一步得出EF即可．

解答：（1）證明：∵BC⊥AB，CD⊥BC，DE⊥CD，
∴∠BAC=∠ACD，
∴△CBA∽△EDC；

（2）解：設C點的坐標為（a，0），點B的坐標（0，2），
設BC的解析式為：y=kx+2
則：ak+2=0
k=-

2

a

∴CD的斜率=

a

2

，
設CD的解析式為：y=

a

2

+b
把C點坐標代入得0=

a

2

•a+b，b=-

1

2

a²，
則：D點的坐標為：（0，-

1

2

a²）
又∵DE∥BC，
∴設DE的解析式為y=-

2

a

x-

1

2

a²，
當y=0時，0=-

2

a

x-

1

2

a²x=-

1

4

a³，
則E點的坐標：（-

1

4

a³，0）
又∵AB∥CD
∴設AB的解析式為：y=

a

2

x+2，
當y=0時，0=

a

2

x+2，x=-

4

a

，
則A點的坐標：（-

4

a

，0）
∵EA=3AC，所以E點必在A點的左邊
AE=|-

1

4

a³|-|-

4

a

=

1

4

a³-

4

a

=

a4-16

4a

，
AC=|-

4

a

|+a=

4

a

+a=

a2+4

a

，
∴

a4-16

4a

=

a2+4

a

，
a⁴-16=12（4+a²），
a⁴-12a²-64=0，
（a²-16）（a²+4）=0 得a²=16，a=4，a=-4（不合題意，a＞0）
∴A點的坐標（-1，0），C點的坐標（4，0）；

（3）E點的坐標（-16，0）
∵EF∥CD
設EF的解析式：y=

a

2

x+b
則 0=

a

2

（-16）+b
b=8a=32，
∴F點的坐標為：（0，32）
∴EF²=（-16）²+32²=5×16²
EF=16

5

．

點評：此題綜合考查三角形相似的判定與性質，一次函數的實際運用，勾股定理的運用，注意圖形與數據結合解決問題．