Question

已知：如圖，把矩形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)C落在直線AB上，
（1）當(dāng)折疊后C恰和點(diǎn)A重合時(shí)（如圖1），求證：四邊形AECF為菱形；
（2）若折疊后C落在BA的延長(zhǎng)線上P處（如圖2），且AP=2，AB=4，AD=8，求折痕EF的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：翻折變換（折疊問(wèn)題）

專題：計(jì)算題

分析：（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)得點(diǎn)O為矩形的對(duì)稱中心，EF⊥AC，再利用中心對(duì)稱的性質(zhì)得OE=OF，即AC與EF互相垂直平分，然后根據(jù)菱形的判定方法得到四邊形AECF為菱形；
（2）作EH⊥AD于H，則EH=AB=4，在Rt△PBC中，BC=8，PB=PA+AB=6，利用勾股定理計(jì)算出PC=10，然后證明Rt△EFH∽R(shí)t△CPB，再利用相似比可計(jì)算出EF．

解答：（1）證明：如圖1，
∵矩形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)C和點(diǎn)A重合，
∴點(diǎn)O為矩形的對(duì)稱中心，EF⊥AC，
∴OE=OF，
∴AC與EF互相垂直平分，
∴四邊形AECF為菱形；
（2）解：作EH⊥AD于H，如圖2，
∴四邊形ABEH為矩形，
∴EH=AB=4，
在Rt△PBC中，BC=8，PB=PA+AB=2+4=6，
∴PC=

PB2+BC2

=10，
∵∠1+∠EFH=90°，∠P+∠2=90°，
而∠1=∠2，
∴∠EFH=∠P，
∴Rt△EFH∽R(shí)t△CPB，
∴

EF

PC

=

EH

BC

，即

EF

10

=

4

8

，
∴EF=5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊的性質(zhì)：折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．也考查了矩形的性質(zhì)、菱形的判定和相似三角形的判定與性質(zhì)．