Question

9．如圖，△AOB中，OB=OA，∠AOB=90°，AD平分∠OAB交OB于D，OE⊥AD交AB于E，垂足為F，下列結(jié)論：
①OF=EF；②OB=BE；③AB=OB+OD；④AD-OE=2DF，
其中正確的有（　�。�

• A． ①②③
• B． ①③④
• C． ①②④
• D． ①②③④

Answer 1

分析 由已知條件和三角形內(nèi)角和定理證出∠AEO=∠AOE，得出AE=AO，由等腰三角形的三線(xiàn)合一性質(zhì)得出OF=EF，①正確；由大角對(duì)大邊得出②不正確；
證出DE=DO，BE=DE，得出③正確；在AF上截取FM=DF，連接OM，由ASA證明△AOM≌△OBE，得出AM=OE，得出AD-OE=2DF，④正確；即可得出結(jié)論．

解答 解：∵AD平分∠OAB，OE⊥AD，
∴∠EAF=∠OAF，∠AFE=∠AFO=90°，
∴∠AEO=∠AOE，
∴AE=AO，
∴OF=EF，①正確；
∵∠BEO＞∠BOE，
∴OB＞BE，②不正確；
連接DE，如圖1所示：
∵AE=AO，∠AEO=∠AOE，
∵AD⊥OE，EF=FO，
∴DE=DO，
∴∠DEO=∠DOE，
∵∠AEO=∠AOE，
∴∠AED=∠AOB=90°，
∵∠AOB=90°，AO=BO，
∴∠B=45°，
∴∠EDB=∠AEO-∠B=90°-45°=45°=∠B，
∴BE=DE，
∴OD=BE，③正確．
在AF上截取FM=DF，連接OM，如圖2所示：
∵OB=OA，∠AOB=90°，
∴∠B=∠OAB=45°，
∵AD平分∠OAB，
∴∠EAF=∠OAF=22.5°，
∵AD⊥OE，
∴∠DOF=∠OAF=22.5°，
∵FM=DF，
∴OM=OD，
∴∠MOF=∠DOF=22.5°，
∴∠DOM=45°，
∴∠AOM=45°，
在△AOM和△OBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OAM=∠BOE}&{\;}\\{OA=OB}&{\;}\\{∠AOM=∠B}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AOM≌△OBE（ASA），
∴AM=OE，
∴AD-OE=AD-AM=DM=2DF，④正確；
正確的是①③④；
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了角平分線(xiàn)、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度．