Question

數(shù)學(xué)課上，李老師先讓同學(xué)們了解了以下知識：
已知：等邊△ABC，E為線段AB上一點(diǎn)，D為線段CB延長線上一點(diǎn)，ED=EC，確定AE與BD大小關(guān)系．
然后出示了如下題目．小敏與同桌小聰討論后，進(jìn)行了如下解答：
（1）特殊情況，探索結(jié)論，當(dāng)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時，如圖1，確定線段AE與DB的大小關(guān)系．請你直接寫出結(jié)論：AE

 

DB．（填“＞”，“＜”或“=”）
（2）特例啟發(fā)，解答題目，當(dāng)E為線段AB上任意一點(diǎn)，其余條件不變，如圖2，確定線段AE與DB的大小關(guān)系．
解：題目中，AE與DB的大小關(guān)系是：AE

 

DB（填“＞”，“＜”或“=”）．并說明理由．
（3）拓展結(jié)論，設(shè)計(jì)新題
在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E在直線AB上，點(diǎn)D在直線BC上，且ED=EC．若△ABC的邊長為1，AE=2，請直接寫出
CD的長．

Answer 1

考點(diǎn)：等邊三角形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)等邊三角形性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)求出∠EDB=∠BCE=30°，求出∠DEB=30°，求出BD=BE即可；
（2）過E作EF∥BC交AC于F，求出等邊三角形AEF，證△DEB和△ECF全等，求出BD=EF即可；
（3）當(dāng)D在CB的延長線上，E在AB的延長線式時，由三角形相似利用比例關(guān)系求出CD=3，當(dāng)E在BA的延長線上，D在BC的延長線上時，求出CD=1．

解答：解：（1）∵△ABC是等邊三角形，E為AB的中點(diǎn)，
∴∠BCE=30°，BE=AE，
∵ED=EC，
∴∠EDB=∠BCE=30°，
∵∠ABD=120°，
∴∠DEB=30°，
∴DB=EB，
∴AE=DB，
故答案為：=．
（2）AE=DB．
如圖2，過點(diǎn)E作EF∥BC，交AC于點(diǎn)F．

∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°．
∴△AEF是等邊三角形，AE=EF=AF．
∴BE=CF．
∵ED=EC，
∴∠ECD=∠D．
又∵∠ECF=60°-∠ECD，∠DEB=∠EBC-∠D=60°-∠D，
∴∠ECF=∠DEB．
在△BDE與△FEC中，

BE=CF ∠ECF=∠DEB ED=EC

∴△BDE≌△FEC（SAS），
∴BD=EF=AE．
∴AE=DB．
故答案為：=．
（3）解：CD=1或3，
分為兩種情況：①如圖3

過A作AM⊥BC于M，過E作EN⊥BC于N，
則AM∥EN，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC=AC=1，
∵AM⊥BC，
∴BM=CM=

1

2

BC=

1

2

，
∵DE=CE，EN⊥BC，
∴CD=2CN，
∵AM∥EN，
∴△AMB∽△ENB，
∴

AB

BE

=

BM

BN

，
∴

1

2-1

=

1 2

BN

，
∴BN=

1

2

，
CN=1+

1

2

=

3

2

，
∴CD=2CN=3；
②如圖4，作AM⊥BC于M，過E作EN⊥BC于N，則AM∥EN，

∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC=AC=1，
∵AM⊥BC，
∴BM=CM=

1

2

BC=

1

2

，
∵DE=CE，EN⊥BC，
∴CD=2CN，
∵AM∥EN，
∴

AB

AE

=

BM

BN

，
∴

1

2

=

1 2

MN

，
∴MN=1，
∴CN=1-

1

2

=

1

2

，
∴CD=2CN=1，
綜上所述CD=3或1．

點(diǎn)評：本題綜合考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的外角性質(zhì)等知識點(diǎn)的應(yīng)用，第（3）題是難點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是確定出有2種情況，求出每種情況的CD值．