Question

5．設(shè)函數(shù)y=x²+2kx+k-1（k為常數(shù)），下列說法正確的是（　�。�

• A． 對任意實數(shù)k，函數(shù)與x軸都沒有交點
• B． 存在實數(shù)n，滿足當x≥n時，函數(shù)y的值都隨x的增大而減小
• C． k取不同的值時，二次函數(shù)y的頂點始終在同一條直線上
• D． 對任意實數(shù)k，拋物線y=x²+2kx+k-1都必定經(jīng)過唯一定點

Answer 1

分析 A、計算出△，根據(jù)△的值進行判斷；
B、根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷；
C、得到拋物線的頂點，寫成方程組，消去k得y=-x²-x-1，即可判斷；
D、令k=1和k=0，得到方程組，求出所過點的坐標，再將坐標代入原式驗證即可；

解答 解：A、∵△=（2k）²-4（k-1）=4k²-4k+4=4（k-$\frac{1}{2}$）²+3＞0，
∴拋物線的與x軸都有兩個交點，故A錯誤；
B、∵a=1＞0，拋物線的對稱軸x=-$\frac{2a}$=-k，
∴在對稱軸的左側(cè)函數(shù)y的值都隨x的增大而減小，
即當x＜k時，函數(shù)y的值都隨x的增大而減小，
當n=-k時，當x≥n時，函數(shù)y的值都隨x的增大而增大，故B錯誤；
C、∵y=x²+2kx+k-1=（x+k）²-k²+k-1，
∴拋物線的頂點為（-k，-k²+k-1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=-k}\\{y=-{k}^{2}+k-1}\end{array}\right.$，
消去k得，y=-x²-x-1
由此可見，不論k取任何實數(shù)，拋物線的頂點都滿足函數(shù)y=-x²-x-1，
即在二次函數(shù)y=-x²-x-1的圖象上．故C錯誤；
D、令k=1和k=0，得到方程組：$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}+2x}\\{y={x}^{2}-1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{2}}\\{y=-\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，
將$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{2}}\\{y=-\frac{3}{4}}\end{array}\right.$代入x²+2kx+k-1得，$\frac{1}{4}$-k+k-1=-$\frac{3}{4}$，與k值無關(guān)，不論k取何值，拋物線總是經(jīng)過一個定點（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{3}{4}$），故D正確．
故選D．

點評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟悉函數(shù)和函數(shù)方程的關(guān)系、函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．