Question

請仔細(xì)觀察表中數(shù)據(jù)，并回答下列問題．

邊數(shù)	3	4	5	6	7	…	n
從一個頂點出發(fā)的對角線的條數(shù)	0	1	2	3	4	…
上述對角線分成的三角形個數(shù)	0	2	3	4	5	…
總的對角線條數(shù)	0	2	5	9	14	…

（1）用含n的式子分別表示從一個頂點出發(fā)的對角線的條數(shù)，上述對角線分成的三角形個數(shù)，總的對角線條數(shù)．答案直接寫在表格中．
（2）若一個多邊形的總對角線數(shù)為54條，求該多邊形的邊數(shù)和以及內(nèi)角和度數(shù)．

Answer 1

考點：多邊形的對角線

專題：規(guī)律型

分析：（1）根據(jù)表格中所給數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)：從一個頂點出發(fā)的對角線的條數(shù)比邊數(shù)少3；分成三角形的個數(shù)比邊數(shù)少2，從一個頂點出發(fā)有（n-3）條對角線，共n個頂點，因此共可以畫n（n-3）條，還有一半是重復(fù)的，因此總條數(shù)為

n(n-3)

2

；
（2）根據(jù)（1）中對角線總條數(shù)公式可得：

n(n-3)

2

=54，再解可得邊數(shù)，然后再利用內(nèi)角和公式進(jìn)行計算即可．

解答：解：（1）填表如下：

邊數(shù)	3	4	5	6	7	…	n
從一個頂點出發(fā)的對角線的條數(shù)	0	1	2	3	4	…	n-3
上述對角線分成的三角形個數(shù)	0	2	3	4	5	…	n-2
總的對角線條數(shù)	0	2	5	9	14	…	n(n-3) 2

（2）由題意得：

n(n-3)

2

=54，
解得：n₁=12，n₂=-9（不合題意，舍去），
180°×（12-2）=1800°．
答：邊數(shù)為12，內(nèi)角和為1800°．

點評：此題主要考查了多邊形的對角線、內(nèi)角和，關(guān)鍵是掌握n邊形從一個頂點出發(fā)可引出（n-3）條對角線．從n個頂點出發(fā)引出（n-3）條，而每條重復(fù)一次，所以n邊形對角線的總條數(shù)為：

n(n-3)

2

（n≥3，且n為整數(shù)）．