Question

9．如圖，在平面直角坐標系中，A、B兩點的坐標分別為（-3，4）、（-6，0）．
（1）求證：△ABO是等腰三角形；
（2）過點B作直線l，在直線l上取一點C，使AC∥x軸，且AC=AB．
①若直線l與邊AO交于E點，求直線l的相應(yīng)函數(shù)關(guān)系式及點E的坐標；
②設(shè)∠AOB=α，∠ACB=β，直接寫出α與β的關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）過A點作AH垂直O(jiān)B于H點，根據(jù)A、B兩點的坐標可得出BH=OH=3，再由勾股定理可得出AB=OA，由此可得出結(jié)論；
（2）①利用待定系數(shù)法求出直線l與OA的解析式，進而可得出E點坐標；
②分點C在點A的右邊與左邊兩種情況進行討論．

解答 解：（1）如圖1，過A點作AH垂直O(jiān)B于H點，
∵A、B兩點的坐標分別為（-3，4）、（-6，0）．
∴BH=OH=3，AH=4，
∴AB=OA=5，
∴△ABO是等腰三形；

（2）①∵AC∥x軸且AC=AB．
∴C點坐標為（2，4）；
設(shè)直線l的解析式為y=kx+b，把（-6，0），（2，4）代入得：$\left\{\begin{array}{l}-6k+b=0\\ 2k+b=4\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}k=\frac{1}{2}\\ b=3\end{array}\right.$，
∴設(shè)直線l的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+3，
邊AO所在直線的角析式為y=mx，把（-3，4）代入得：4=-3m，解得m=-$\frac{4}{3}$，
∴邊AO所在直線的角析式為y=-$\frac{4}{3}$x，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{2}x+3\\ y=-\frac{4}{3}x\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{18}{11}\\ y=\frac{24}{11}\end{array}\right.$
∴E（$-\frac{18}{11}$，$\frac{24}{11}$）；

②當點C在點A的右邊時，如圖2所示，
∵AC∥x軸，
∴∠β=∠OBC．
∵AC=AB，
∴∠β=∠ABC，
∴α=2β；
當點C在點A的左邊時，如圖3所示．
∵AC=AB，
∴∠ACB=∠ABC=β，
∴∠BAC=180°-2β．
∵AC∥OB，
∴∠ABO=∠BAC，
∴α=180°-2β．
綜上所述，α與β的關(guān)系是α=2β或α=180°-2β．

點評 本題考查的是一次函數(shù)綜合題，涉及到一次函數(shù)圖象上點的坐標特點及用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式等知識，在解答（2）時要注意進行分類討論，不要漏解．