Question

9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-3，4）、（-6，0）．
（1）求證：△ABO是等腰三角形；
（2）過(guò)點(diǎn)B作直線(xiàn)l，在直線(xiàn)l上取一點(diǎn)C，使AC∥x軸，且AC=AB．
①若直線(xiàn)l與邊AO交于E點(diǎn)，求直線(xiàn)l的相應(yīng)函數(shù)關(guān)系式及點(diǎn)E的坐標(biāo)；
②設(shè)∠AOB=α，∠ACB=β，直接寫(xiě)出α與β的關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）過(guò)A點(diǎn)作AH垂直O(jiān)B于H點(diǎn)，根據(jù)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)可得出BH=OH=3，再由勾股定理可得出AB=OA，由此可得出結(jié)論；
（2）①利用待定系數(shù)法求出直線(xiàn)l與OA的解析式，進(jìn)而可得出E點(diǎn)坐標(biāo)；
②分點(diǎn)C在點(diǎn)A的右邊與左邊兩種情況進(jìn)行討論．

解答 解：（1）如圖1，過(guò)A點(diǎn)作AH垂直O(jiān)B于H點(diǎn)，
∵A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-3，4）、（-6，0）．
∴BH=OH=3，AH=4，
∴AB=OA=5，
∴△ABO是等腰三形；

（2）①∵AC∥x軸且AC=AB．
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（2，4）；
設(shè)直線(xiàn)l的解析式為y=kx+b，把（-6，0），（2，4）代入得：$\left\{\begin{array}{l}-6k+b=0\\ 2k+b=4\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}k=\frac{1}{2}\\ b=3\end{array}\right.$，
∴設(shè)直線(xiàn)l的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+3，
邊AO所在直線(xiàn)的角析式為y=mx，把（-3，4）代入得：4=-3m，解得m=-$\frac{4}{3}$，
∴邊AO所在直線(xiàn)的角析式為y=-$\frac{4}{3}$x，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{2}x+3\\ y=-\frac{4}{3}x\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{18}{11}\\ y=\frac{24}{11}\end{array}\right.$
∴E（$-\frac{18}{11}$，$\frac{24}{11}$）；

②當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)A的右邊時(shí)，如圖2所示，
∵AC∥x軸，
∴∠β=∠OBC．
∵AC=AB，
∴∠β=∠ABC，
∴α=2β；
當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)A的左邊時(shí)，如圖3所示．
∵AC=AB，
∴∠ACB=∠ABC=β，
∴∠BAC=180°-2β．
∵AC∥OB，
∴∠ABO=∠BAC，
∴α=180°-2β．
綜上所述，α與β的關(guān)系是α=2β或α=180°-2β．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是一次函數(shù)綜合題，涉及到一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)及用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式等知識(shí)，在解答（2）時(shí)要注意進(jìn)行分類(lèi)討論，不要漏解．