Question

已知△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，P為BC邊中點．
（1）如圖①，以P為頂點作∠MPN=45°，PM、PN分別交線段AB、AC于D、E兩點，當AD=AE時，求證：△BPD≌△CPE；
（2）將①中的∠MPN繞點P旋轉(zhuǎn)，PM、PN始終保持分別與線段AB、AC相交，如圖②，試證明∠BDP+∠CEP的度數(shù)是個定值，且PD、PE分別平分∠BDE和∠CED．
（3）如圖③，若以A為頂點作∠MAN=45°，邊BC分別與AM、AN相交于點E、F，試證明：EF²=BE²+CF²．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理的逆定理,等腰直角三角形

專題：

分析：（1）根據(jù)線段中點的定義可得BP=CP，再求出BD=CE，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠B=∠C=45°，然后利用“邊角邊”證明即可；
（2）求出∠BPD+∠CPE=135°，然后利用三角形的內(nèi)角和定理列式計算即可求出∠BDP+∠CEP的度數(shù)；過點P作PF⊥AB于F，作PH⊥AC于H，然后求出△BPF和△CPH是全等的等腰直角三角形，然后求出PF=PH，把△PDF繞點P順時針旋轉(zhuǎn)，使PF與PH重合得到△PHK，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得PD=PK，∠DPF=∠KPH，再求出∠EPK=∠EPD=45°，然后利用“邊角邊”證明△DEP和△KEP全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠CEP=∠DEP，過點P作PG⊥DE于G，利用“角角邊”證明△PEH和△PEG全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得PH=PG，從而得到PF=PG，再根據(jù)到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上可得PD平分∠BDE；
（3）把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACD，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AE=AD，BE=CD，∠ACD=∠B=45°，∠CAD=∠BAE，再求出△AEF和△ADF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得EF=DF，再求出∠DCF=90°，然后利用勾股定理列式整理即可得證．

解答：（1）證明：∵P為BC邊中點，
∴BP=CP，
∵AB=AC，AD=AE，
∴BD=CE，
∵△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，
∴∠B=∠C=45°，
在△BPD和△CPE中，

BP=CP ∠B=∠C BD=CE

，
∴△BPD≌△CPE（SAS）；

（2）解：∵∠MPN=45°，
∴∠BPD+∠CPE=180°-45°=135°，
∵∠B=∠C=45°，
∴∠BDP+∠CEP=180°×2-45°×2-135°=135°，
即∠BDP+∠CEP的度數(shù)是定值135°；
過點P作PF⊥AB于F，作PH⊥AC于H，
易得△BPF≌△CPH，
所以，PF=PH，
把△PDF繞點P順時針旋轉(zhuǎn)，使PF與PH重合得到△PHK，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，PD=PK，∠DPF=∠KPH，
∵∠MPN=45°，
∴∠EPK=∠EPD=45°，
在△DEP和△KEP中，

PD=PK ∠EPK=∠EPD PE=PE

，
∴△DEP≌△KEP（SAS），
∴∠CEP=∠DEP，
∴PE平分∠CED，
過點P作PG⊥DE于G，
在△PEH和△PEG中，

∠CEP=∠DEP ∠PGE=∠PHE=90° PE=PE

，
∴△PEH≌△PEG（AAS），
∴PH=PG，
∵PF=PH，
∴PF=PG，
∴PD平分∠BDE；

（3）證明：把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACD，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AE=AD，BE=CD，∠ACD=∠B=45°，∠CAD=∠BAE，
∵∠MAN=45°，
∴∠EAF=∠DAF=45°，
在△AEF和△ADF中，

AE=AD ∠EAF=∠DAF AF=AF

，
∴△AEF≌△ADF（SAS），
∵∠DCF=∠ACB+∠ACD=45°+45°=90°，
∴DF²=CD²+CF²，
∴EF²=BE²+CF²．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上的性質(zhì)，難點在于（2）作輔助線構(gòu)造出全等三角形．