Question

【題目】(l)操作：如圖1，點(diǎn)O為線段MN的中點(diǎn)，直線PQ與MN相交于點(diǎn)O，請(qǐng)利用圖1畫出一對(duì)以點(diǎn)O為對(duì)稱中心的全等三角形；根據(jù)上述操作得到的經(jīng)驗(yàn)完成下列探究活動(dòng)：

(2)探究一：如圖2，在四邊形ABCD中，AB∥DC,E為BC邊的中點(diǎn)，∠BAE=∠EAF,AF與DC的延長線相交于點(diǎn)F．試探究線段AB與AF，AF,CF之間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

(3)探究二：如圖3 ,DE,BC相交于點(diǎn)E,BA交DE于點(diǎn)A，且BE：EC=1：2,∠BAE=∠EDF,CF∥AB．若AB=5，CF=1，求DF的長度.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）9

【解析】（1）根據(jù)全等三角形的判定中的邊角邊為作圖的理論依據(jù)，來畫出全等三角形．

（2）本題可通過作輔助線將AB，FC，AF構(gòu)建到一個(gè)相關(guān)聯(lián)的三角形中，可延長AE、DF交于點(diǎn)M，不難證明△ABE≌△MCE，那么AB=CF，現(xiàn)在只要將AF也關(guān)聯(lián)到三角形BEC中，我們發(fā)現(xiàn)，∠BAE=∠EAF，∠BAE=∠M（AB∥CD），那么三角形AMF就是個(gè)等腰三角形，AF=MF，因此AB=MC=MF+FC=AF+FC；

（3）本題的作法與（2）類似，延長DE、CF交于點(diǎn)G，不難得出△ABE∽△GCE，

可根據(jù)線段的比例關(guān)系和AB的值得到CG的值，然后就能得出FG的值，同（2）可得出△DFG是等腰三角形，那么DF=GF，這樣就求出DF的值了．