【題目】如圖,二次函數(shù)y=x2﹣4x的圖象與x軸、直線(xiàn)y=x的一個(gè)交點(diǎn)分別為點(diǎn)A,B,CD是線(xiàn)段OB上的一動(dòng)線(xiàn)段,且CD=2,過(guò)點(diǎn)C,D的兩直線(xiàn)都平行于y軸,與拋物線(xiàn)相交于點(diǎn)F,E,連接EF.
(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)為 , 線(xiàn)段OB的長(zhǎng)=;
(2)設(shè)點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為m ①當(dāng)四邊形CDEF是平行四邊形時(shí),求m的值;
②連接AC、AD,求m為何值時(shí),△ACD的周長(zhǎng)最小,并求出這個(gè)最小值.
【答案】
(1)(4,0);5
(2)解:①∵點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為m,且CF∥DE∥y軸,
∴C(m,m),F(xiàn)(m,m2﹣4m),
又∵CD=2,且CD是線(xiàn)段OB上的一動(dòng)線(xiàn)段,
∴D(m+ ,m+ ),E(m+ ,(m+ )2﹣4(m+ )),
∴CF=m﹣(m+ ),DE=m+ ﹣[(m+ )2﹣4(m+ )],
∵當(dāng)四邊形CDEF是平行四邊形時(shí),CF=DE,
∴m﹣(m+ )=m+ ﹣[(m+ )2﹣4(m+ )],
解得m= ;
②如圖所示,過(guò)點(diǎn)A作CD的平行線(xiàn),過(guò)點(diǎn)D作AC的平行線(xiàn),交于點(diǎn)G,則四邊形ACDG是平行四邊形,
∴AC=DG,
作點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A',連接A'D,則A'D=AD,
∴當(dāng)A',D,G三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí),A'D+DG=A'G最短,此時(shí)AC+AD最短,
∵A(4,0),AG=CD=2,
∴A'(0,4),G(4+ , ),
設(shè)直線(xiàn)A'G的解析式為y=kx+b,則
,解得 ,
∴直線(xiàn)A'G的解析式為y=﹣ x+4,
解方程組 ,可得 ,
∴D(2+ ,2+ ),
∵CD=2,且CD是線(xiàn)段OB上的一動(dòng)線(xiàn)段,
∴C(2﹣ ,2﹣ ),
∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)m=2﹣ ,
由A(4,0),C(2﹣ ,2﹣ )可得,AC= =3,
由A(4,0),D(2+ ,2+ )可得,AD= =3,
又∵CD=2,
∴△ACD的周長(zhǎng)=CD+AC+AD=2+3+3=8,
故當(dāng)m=2﹣ 時(shí),△ACD的周長(zhǎng)最小,這個(gè)最小值為8.
【解析】解:(1)∵y=x2﹣4x中,令y=0,則0=x2﹣4x, 解得x1=0,x2=4,
∴A(4,0),
解方程組 ,可得
或 ,
∴B(5,5),
∴OB= =5 .
所以答案是:(4,0),5 ;
(1)根據(jù)y=x2﹣4x中,令y=0,則0=x2﹣4x,可求得A(4,0),解方程組 ,可得B(5,5),進(jìn)而得出OB的長(zhǎng);(2)①根據(jù)C(m,m),F(xiàn)(m,m2﹣4m),可得CF=m﹣(m+ ),根據(jù)D(m+ ,m+ ),E(m+ ,(m+ )2﹣4(m+ )),可得DE=m+ ﹣[(m+ )2﹣4(m+ )],最后根據(jù)當(dāng)四邊形CDEF是平行四邊形時(shí),CF=DE,求得m的值即可;②先過(guò)點(diǎn)A作CD的平行線(xiàn),過(guò)點(diǎn)D作AC的平行線(xiàn),交于點(diǎn)G,則四邊形ACDG是平行四邊形,得出AC=DG,再作點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A',連接A'D,則A'D=AD,根據(jù)當(dāng)A',D,G三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí),A'D+DG=A'G最短,可得此時(shí)AC+AD最短,然后求得直線(xiàn)A'G的解析式為y=﹣ x+4,解方程組可得D(2+ ,2+ ),C(2﹣ ,2﹣ ),最后根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式,求得△ACD的周長(zhǎng)的最小值.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了拋物線(xiàn)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)和平行四邊形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握一元二次方程的解是其對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo).因此一元二次方程中的b2-4ac,在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點(diǎn).當(dāng)b2-4ac>0時(shí),圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn);當(dāng)b2-4ac=0時(shí),圖像與x軸有一個(gè)交點(diǎn);當(dāng)b2-4ac<0時(shí),圖像與x軸沒(méi)有交點(diǎn).;若一直線(xiàn)過(guò)平行四邊形兩對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn),則這條直線(xiàn)被一組對(duì)邊截下的線(xiàn)段以對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)為中點(diǎn),并且這兩條直線(xiàn)二等分此平行四邊形的面積才能正確解答此題.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(1,0),B(1﹣a,0),C(1+a,0)(a>0),點(diǎn)P在以D(4,4)為圓心,1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng),且始終滿(mǎn)足∠BPC=90°,則a的最大值是 .
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【題目】三張質(zhì)地相同的卡片如圖所示,將卡片洗勻后背面朝上放置在桌面上,甲、乙兩人進(jìn)行如下抽牌游戲:甲先抽一張卡片放回,乙再抽一張.
(1)求甲先抽一張卡片,抽到的卡片上數(shù)字為偶數(shù)的概率;
(2)用樹(shù)形(狀)圖或列表的方法表示甲、乙兩人游戲所有等可能的結(jié)果,并求他們抽到相同數(shù)字卡片的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC=10cm,BC=12cm,點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā),在線(xiàn)段CB上以每秒1cm的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng).與此同時(shí),點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā),在線(xiàn)段BA上以每秒lcm的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng).過(guò)點(diǎn)P作PN⊥BC,交AC點(diǎn)N,連接MP,MN.當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)BC中點(diǎn)時(shí),點(diǎn)P與M同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(t>0).
(1)當(dāng)t為何值時(shí),PM⊥AB.
(2)設(shè)△PMN的面積為y(cm2),求出y與x之間的函致關(guān)系式.
(3)是否存在某一時(shí)刻t,使S△PMN:S△ABC=1:5?若存在,求出t的值;若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:關(guān)于x的一元二次方程x2﹣6x﹣m=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.
(1)求m的取值范圍;
(2)如果m取符合條件的最小整數(shù),且一元二次方程x2﹣6x﹣m=0與x2+nx+1=0有一個(gè)相同的根,求常數(shù)n的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與直線(xiàn)y=x+1相交于點(diǎn)A(﹣1,m)和點(diǎn)B(n,5).
(1)求該二次函數(shù)的關(guān)系式;
(2)在給定的平面直角坐標(biāo)系中,畫(huà)出這兩個(gè)函數(shù)的大致圖象;
(3)結(jié)合圖象直接寫(xiě)出x2+bx+c>x+1時(shí)x的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列說(shuō)法正確的有( ) ① ﹣2的值在3和4之間;
②當(dāng)a=1時(shí),關(guān)于x的一元二次方程x2+2x﹣a=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;
③命題“對(duì)頂角相等”的逆命題是真命題;
④十邊形的內(nèi)角和為1440°;
⑤等邊三角形既是軸對(duì)稱(chēng)圖形又是中心對(duì)稱(chēng)圖形.
A.1個(gè)
B.2個(gè)
C.3個(gè)
D.4個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)A(﹣4,0),B(0,﹣4),C(2,0)三點(diǎn).
(1)求拋物線(xiàn)的解析式;
(2)若點(diǎn)M為第三象限內(nèi)拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m,△AMB的面積為S.求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式,并求出S的最大值.
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