Question

8．定義：對于拋物線y=ax²+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0），若b²=ac，則稱該拋物線為黃金拋物線．例如：y=2x²-2x+2是黃金拋物線．
（1）將y=2x²-2x+2先向下平移3個單位，再向左平移2個單位，則平移后的新拋物線的解析式為y=2x²+2x-1；
（2）請再寫出一個與上例不同的黃金拋物線的解析式y(tǒng)=2x²+2x+2；
（3）若拋物線y=ax²+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）是黃金拋物線，請?zhí)骄吭擖S金拋物線與x軸的公共點個數(shù)的情況（要求說明理由）．

Answer 1

分析 （1）先利用配方法得到y(tǒng)=2（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{2}$，則拋物線的頂點坐標為（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$），再利用點平移的規(guī)律得到點（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$）平移后的對應點的坐標為（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{3}{2}$），于是利用頂點式可寫出平移后的新拋物線的解析式；
（2）根據(jù)黃金拋物線寫出的二次函數(shù)各項的系數(shù)滿足b²=ac即可；
（3）由于△=b²-4ac，而b²=ac時，則△=-4ac，利用△=b²-4ac決定拋物線與x軸的交點個數(shù)進行討論：當c=0時，△=0，該黃金拋物線與x軸只有一個公共點；當c≠0時，由于a、c同號，則△＜0，則可判斷該黃金拋物線與x軸沒有公共點．

解答 解：（1）y=2x²-2x+2=2（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{2}$，則拋物線的頂點坐標為（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$），
把點（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$）先向下平移3個單位，再向左平移2個單位得到點（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{3}{2}$），
所以平移后的新拋物線的解析式為y=2（x+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{3}{2}$，即y=2x²+2x-1；
（2）拋物線y=2x²+2x+2是黃金拋物線；
（3）△=b²-4ac，
因為b²=ac時，
所以△=ac-4ac=-4ac，
當c=0時，△=0，該黃金拋物線與x軸只有一個公共點，即原點；
當c≠0時，而a、c同號，則△＜0，所以該黃金拋物線與x軸沒有公共點．
故答案為y=2x²+2x-1；y=2x²+2x+2．

點評 本題考查了拋物線與x軸的交點問題：對于二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0），△=b²-4ac決定拋物線與x軸的交點個數(shù)：△=b²-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△=b²-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；△=b²-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．也考查了拋物線的幾何變換．