Question

如圖所示，已知四邊形ABCD內接于⊙O，A是弧BAC的中點，AE⊥AC于A，與⊙O及CB的延長線分別交于點F、E，且BF=AD，EM切⊙O于M．
（1）求證：△ADC∽△EBA；
（2）求證：AC²=

1

2

BC•CE；
（3）如果AB=4，EM=6，求cot∠CAD的值．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：

分析：（1）由四邊形ABCD內接于⊙O，可得∠CDA=∠ABE．又由AD=BF，可得∠DCA=∠BAE，即可證得：△ADC∽△EBA；
（2）由題意易證得△ACH∽△ECA，又由垂徑定理，可證得：AC²=

1

2

BC•CE；
（3）由EM是⊙O的切線，EM=6，可得EB•EC=EM²=36．又由AC²=

1

2

BC•CE，即可得BC•CE=32．繼而求得答案．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD內接于⊙O，
∴∠CDA=∠ABE．
∵AD=BF，
∴∠DCA=∠BAE，
∴△ADC∽△EBA．

（2）證明：如圖所示，過A作AH⊥EC于H．
∵A是

BDC

的中點．
∴HC=HB=

1

2

BC．
∵∠CAE=90°，
∴∠CAE=∠CHA=90°，
∵∠ACE=∠HCA，
∴△ACH∽△ECA，
∴

AC

CE

=

CH

AC

，
∴AC²=CH•CE=

1

2

BC•CE．

（3）解：∵A是弧BAC的中點，AB=4，
∴AC=AB=4．
∵EM是⊙O的切線，EM=6，
∴EB•EC=EM²=36．①
∵AC²=

1

2

BC•CE，
∴BC•CE=32．②
①+②得，EC（EB+BC）=17，
∴EC²=68．
∵EC²=AC²+AE²，
∴AE=

68-16

=2

13

．
∵△ADC∽△EBA，
∴∠CAD=∠AEC．
∴在Rt△ADC中，cot∠CAD=cot∠ACE=

AE

AC

=

13

2

．

點評：此題考查了垂徑定理、圓周角定理、相似三角形的判定與性質、勾股定理以及三角函數(shù)等知識．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結合思想與方程思想的應用．