【題目】已知正方形ABCD中,E為對角線BD上一點,過E點作EF⊥BD交BC于F,連接DF,G為DF中點,連接EG,CG.
(1)請問EG與CG存在怎樣的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
(2)將圖①中△BEF繞B點逆時針旋轉(zhuǎn)45°,如圖②所示,取DF中點G,連接EG,CG.問(1)中的結(jié)論是否仍然成立?若成立,請給出證明;若不成立,請說明理由.
(3)將圖①中△BEF繞B點旋轉(zhuǎn)任意角度,如圖③所示,再連接相應(yīng)的線段,問(1)中的結(jié)論是否仍然成立?(請直接寫出結(jié)果,不必寫出理由)
【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)結(jié)論仍然成立
【解析】
(1)利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半,可證出CG=EG.
(2)結(jié)論仍然成立,連接AG,過G點作MN⊥AD于M,與EF的延長線交于N點;再證明△DAG≌△DCG,得出AG=CG;再證出△DMG≌△FNG,得到MG=NG;再證明△AMG≌△ENG,得出AG=EG;最后證出CG=EG.
(3)結(jié)論依然成立.
(1)CG=EG.理由如下:
∵四邊形ABCD是正方形,∴∠DCF=90°.在Rt△FCD中,∵G為DF的中點,∴CG=FD,同理.在Rt△DEF中,EG=FD,∴CG=EG.
(2)(1)中結(jié)論仍然成立,即EG=CG.
證法一:連接AG,過G點作MN⊥AD于M,與EF的延長線交于N點.
在△DAG與△DCG中,∵AD=CD,∠ADG=∠CDG,DG=DG,∴△DAG≌△DCG(SAS),∴AG=CG;
在△DMG與△FNG中,∵∠DGM=∠FGN,FG=DG,∠MDG=∠NFG,∴△DMG≌△FNG(ASA),∴MG=NG.
∵∠EAM=∠AEN=∠AMN=90°,∴四邊形AENM是矩形,在矩形AENM中,AM=EN.在△AMG與△ENG中,∵AM=EN,∠AMG=∠ENG,MG=NG,∴△AMG≌△ENG(SAS),∴AG=EG,∴EG=CG.
證法二:延長CG至M,使MG=CG,連接MF,ME,EC.在△DCG與△FMG中,∵FG=DG,∠MGF=∠CGD,MG=CG,∴△DCG≌△FMG,∴MF=CD,∠FMG=∠DCG,∴MF∥CD∥AB,∴EF⊥MF.
在Rt△MFE與Rt△CBE中,∵MF=CB,∠MFE=∠EBC=90°,EF=BE,∴△MFE≌△CBE
∴∠MEF=∠CEB,∴∠MEC=∠MEF+∠FEC=∠CEB+∠CEF=90°,∴△MEC為直角三角形.
∵MG=CG,∴EG=MC,∴EG=CG.
(3)(1)中的結(jié)論仍然成立.理由如下:
過F作CD的平行線并延長CG交于M點,連接EM、EC,過F作FN垂直于AB于N.
由于G為FD中點,易證△CDG≌△MFG,得到CD=FM,又因為BE=EF,易證∠EFM=∠EBC,則△EFM≌△EBC,∠FEM=∠BEC,EM=EC
∵∠FEC+∠BEC=90°,∴∠FEC+∠FEM=90°,即∠MEC=90°,∴△MEC是等腰直角三角形.
∵G為CM中點,∴EG=CG,EG⊥CG
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【題目】如圖,直線y=kx+b與x軸、y軸分別交于點A,B,且OA,OB的長(OA>OB)是方程x2-10x+24=0的兩個根,P(m,n)是第一象限內(nèi)直線y=kx+b上的一個動點(點P不與點A,B重合).
(1)求直線AB的解析式.
(2)C是x軸上一點,且OC=2,求△ACP的面積S與m之間的函數(shù)關(guān)系式;
(3)在x軸上是否有在點Q,使以A,B,Q為頂點的三角形是等腰三角形?若存在,請直接寫出點Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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【題目】甲、乙兩名運動員進行長跑訓(xùn)練,兩人距終點的路程y(米)與跑步時間x(分)之間的函數(shù)圖象如圖所示,根據(jù)圖象所提供的信息解答問題:
(1)他們在進行 米的長跑訓(xùn)練,在0<x<15的時段內(nèi),速度較快的人是 ;
(2)求甲距終點的路程y(米)和跑步時間x(分)之間的函數(shù)關(guān)系式;
(3)當(dāng)x=15時,兩人相距多少米?在15<x<20的時段內(nèi),求兩人速度之差.
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【題目】已知射線是的角平分線,,點是射線上的點,連接.
(1)如圖1,當(dāng)點在射線上時,連接,.若,則的形狀是_____.
(2)如圖2,當(dāng)點在射線的反向延長線上時,連接,.若,則(1)中的結(jié)論是否成立?請說明理由.
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【題目】如圖,有一種動畫程序,在平面直角坐標(biāo)系屏幕上,直角三角形是黑色區(qū)域(含直角三角形邊界),其中A(1,1),B(2,1),C(1,3),用信號槍沿直線y=3x+b發(fā)射信號,當(dāng)信號遇到黑色區(qū)域時,區(qū)域便由黑變白,則能夠使黑色區(qū)域變白的b的取值范圍是( 。
A.﹣5≤b≤0B.﹣5<b≤﹣3C.﹣5≤b≤3D.﹣5≤b≤5
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【題目】如圖①,在邊長為4cm的正方形ABCD中,點P以每秒2cm的速度從點A出發(fā),沿AB→BC的路徑運動,到點C停止.過點P作PQ∥BD,PQ與邊AD(或邊CD)交于點Q,PQ的長度y(cm)與點P的運動時間x(秒)的函數(shù)圖象如圖②所示.當(dāng)點P運動2.5秒時,PQ的長度是________cm.
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【題目】如圖,點O是△ABC內(nèi)一點,∠A=80°,BO、CO分別是∠ABC和∠ACB的角平分線,則∠BOC等于( 。
A. 140° B. 120° C. 130° D. 無法確定
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【題目】已知拋物線(是常數(shù))的頂點為,直線
求證:點在直線上;
當(dāng)時,拋物線與軸交于,兩點,與軸交于點,與直線的另一個交點為,是軸下方拋物線上的一點,(如圖),求點的坐標(biāo);
若以拋物線和直線的兩個交點及坐標(biāo)原點為頂點的三角形是等腰三角形,請直接寫出所有符合條件的的值.
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【題目】如圖1,等邊中,點、分別在、上,,連、.
(1)求證:;
(2)如圖2,延長至點,使得,連,試判斷的形狀,并說明理由;
(3)在(2)的條件下,連,.若,則______.
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