Question

2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B的坐標(biāo)是（2$\sqrt{3}$，2），將線段OB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)B．
（1）①求點(diǎn)B繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)B₁所經(jīng)過的路程長(zhǎng)；
     ②在圖中畫出$\widehat{B{B}_{1}}$，并直接寫出點(diǎn)B₁的坐標(biāo)是（0，-4）；
（2）有7個(gè)球除了編號(hào)不同外，其他均相同，李南和王易設(shè)計(jì)了如下的一個(gè)規(guī)則：→裝入不透明的甲袋→裝入不透明的乙袋，李南從甲袋中，王易從乙袋中，各自隨機(jī)地摸出一個(gè)球（不放回），把李南摸出的球的編號(hào)作為橫坐標(biāo)x，把王易摸出的球的編號(hào)作為縱坐標(biāo)y，用列表法或畫樹狀圖法表示出（x，y）的所有可能出現(xiàn)的結(jié)果；
（3）李南和王易各取一次小球所確定的點(diǎn)（x，y）落在$\widehat{B{B}_{1}}$上的概率是$\frac{1}{6}$．

Answer 1

分析 （1）①先利用勾股定理計(jì)算出OB，然后根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算點(diǎn)B繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)B₁所經(jīng)過的路程長(zhǎng)；
②由①得∠BOH=30°，則線段OB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)B₁在y軸的負(fù)半軸上，于是可得到$\widehat{B{B}_{1}}$，再寫出點(diǎn)B₁的坐標(biāo)；
（2）利用樹狀圖展示所有12種等可能的結(jié)果數(shù)；
（3）計(jì)算各點(diǎn)到原點(diǎn)的距離可判斷點(diǎn)（x，y）落在$\widehat{B{B}_{1}}$上的結(jié)果數(shù)為2，然后根據(jù)概率公式求解．

解答 解：（1）①作BH⊥x軸于點(diǎn)H，
∵點(diǎn)B的坐標(biāo)是（2$\sqrt{3}$，2），
∴BH=2，OH=2$\sqrt{3}$，
∴OB=$\sqrt{{2}^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}}$=4，
∴B繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)B₁所經(jīng)過的路程長(zhǎng)=$\frac{120•π•4}{180}$=$\frac{8π}{3}$；
②如圖，$\widehat{B{B}_{1}}$為所作，點(diǎn)B₁的坐標(biāo)是（0，-4）；
（2）畫樹狀圖為：

共有12種等可能的結(jié)果數(shù)；
（3）點(diǎn)（x，y）落在$\widehat{B{B}_{1}}$上的結(jié)果數(shù)為2，
所以點(diǎn)（x，y）落在$\widehat{B{B}_{1}}$上的概率=$\frac{2}{12}$=$\frac{1}{6}$．
故答案為（0，-4），$\frac{1}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了作圖-旋轉(zhuǎn)變換：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，對(duì)應(yīng)角都相等都等于旋轉(zhuǎn)角，對(duì)應(yīng)線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對(duì)應(yīng)點(diǎn)，順次連接得出旋轉(zhuǎn)后的圖形．也考查了弧長(zhǎng)公式和樹狀圖法．