Question

若m²=m+1，n²-n-1=0且m≠n，試求代數(shù)式m⁷+n⁷的值．

Answer 1

考點(diǎn)：因式分解的應(yīng)用

專題：

分析：由m²=m+1，得m²-m-1=0，又由n²-n-1=0，知m，n是方程x²-x-1=0的兩根，由根與系數(shù)關(guān)系，得m+n=1，mn=-1，依此可求m²+n²，m⁴+n⁴，m⁶+n⁶的值，再將代數(shù)式m⁷+n⁷變形為m⁶+n⁶+m⁴+n⁴+m²+n²+1即可求解．

解答：解：由m²=m+1，得m²-m-1=0，又由n²-n-1=0，知m，n是方程x²-x-1=0的兩根，
由根與系數(shù)關(guān)系，得m+n=1，mn=-1，
所以m²+n²=（m+n）²-2mn=1+2=3，m⁴+n⁴=（m²+n²）²-2m²n²=9-2=7，
又因?yàn)椋╩²+n²）（n⁴+n⁴）=m⁶+m²n⁴+m⁴n²+n⁶即21=m⁶+n⁶+m²n²（m²+n²），
解得m⁶+n⁶=21-3=18，
所以m⁷+n⁷=（m+n）（m⁶-m⁵n+m⁴n²+m³n³-m²n⁴-mn⁵+n⁶）
=m⁶-m⁵n+m⁴n²+m³n³-m²n⁴-mn⁵+n⁶
=m⁶+n⁶+m⁴-m³n+m²n²-mn³+n⁴（mn=-1代入）
=m⁶+n⁶+m⁴+n⁴+m²+n²+1
=18+7+3+1
=29．

點(diǎn)評：本題考查因式分解的運(yùn)用，注意運(yùn)用整體代入法求解．