Question

7．已知：直線y=-x-4分別交x、y軸于A、C兩點(diǎn)，拋物線y=ax²+bx（a＞0）經(jīng)過A、O兩點(diǎn)，且頂點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為-2
（1）判斷點(diǎn)B是否在直線AC上，并求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（2）以點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D為圓心，以O(shè)D為半徑作⊙D，試判斷直線AC與⊙D的位置關(guān)系，并說明理由；
（3）若E為⊙D的優(yōu)弧AO上一動(dòng)點(diǎn)（不與A、O重合），連結(jié)AE、OE，問在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使∠POA：∠AEO=2：3？若存在，請(qǐng)求出所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）可先求出點(diǎn)A、C的坐標(biāo)，然后結(jié)合點(diǎn)A的坐標(biāo)及頂點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為-2可得到關(guān)于a、b的方程組，然后解這個(gè)方程組，就可得到拋物線的函數(shù)關(guān)系式，從而得到點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入直線AC的解析式，就可解決問題；
（2）連接DA，如圖1，要證直線AC與⊙D相切，只需證∠DAC=90°；
（3）過點(diǎn)P作PH⊥x軸于H，如圖2①、圖2②，易得∠ADO=90°，根據(jù)圓周角定理可得∠AEO，從而求出∠POA，從而可得到直線OP的解析式，然后解直線OP與拋物線的解析式組成的方程組，就可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵點(diǎn)A、C分別是直線y=-x-4與x、y軸的交點(diǎn)，
∴點(diǎn)A（-4，0），點(diǎn)C（0，-4），
由題意可得：$\left\{\begin{array}{l}{16a-4b=0}\\{\frac{0-^{2}}{4a}=-2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=$\frac{1}{2}$x²+2x．
由y=$\frac{1}{2}$x²+2x=$\frac{1}{2}$（x+2）²-2得頂點(diǎn)B（-2，-2）．
當(dāng)x=-2時(shí)，y=-x-4=-2，
∴點(diǎn)B在直線y=-x-4上；

（2）直線AC與⊙D相切．
理由：連接DA，如圖1．
∵A（-4，0），C（0，-4），
∴OA=OC=4．
∵∠AOC=90°，
∴∠OAC=∠OCA=45°．
∵點(diǎn)B在直線AC上，
∴∠BAO=45°．
∵點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于x軸對(duì)稱，
∴∠DAO=∠BAO=45°，
∴∠DAB=90°，
∵拋物線y=ax²+bx（a＞0）經(jīng)過A、O兩點(diǎn)，頂點(diǎn)是B，點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于x軸對(duì)稱，OD為半徑，
∴直線AC與⊙D相切；

（3）過點(diǎn)P作PH⊥x軸于H，如圖2①、圖2②，
∵DA=DO，
∴∠DOA=∠DAO=45°，
∴∠ADO=90°．
∵E為⊙D的優(yōu)弧AO上一動(dòng)點(diǎn)（不與A、O重合），
∴∠AEO=$\frac{1}{2}$∠ADO=45°．
∵∠POA：∠AEO=2：3，
∴∠POA=$\frac{2}{3}$∠AEO=$\frac{2}{3}$×45°=30°．
∴直線OP的解析式為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，或y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x．
①當(dāng)直線OP的解析式為y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x時(shí)，如圖2①，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}+2x}\end{array}\right.$，得
$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{2\sqrt{3}}{3}-4}\\{y=\frac{2}{3}+\frac{4\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$-4，$\frac{2}{3}$+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）．
②當(dāng)直線OP的解析式為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x時(shí)，如圖2②，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{3}}{3}x}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}+2x}\end{array}\right.$，得
$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2\sqrt{3}}{3}-4}\\{y=\frac{2}{3}-\frac{4\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{2\sqrt{3}}{3}-4$，$\frac{2}{3}-\frac{4\sqrt{3}}{3}$）．
綜上所述：點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$-4，$\frac{2}{3}$+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）或（$\frac{2\sqrt{3}}{3}-4$，$\frac{2}{3}-\frac{4\sqrt{3}}{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了運(yùn)用待定系數(shù)法求拋物線解析式、等腰三角形的性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)、直線與拋物線的交點(diǎn)等知識(shí)，運(yùn)用分類討論的思想是解決第（3）小題的關(guān)鍵．