Question

如圖1，若點(diǎn)A、B在直線l同側(cè)，在直線l上找一點(diǎn)P，使AP+BP的值最小，做法是：作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′，連接AB′，與直線l的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P，線段AB′的長(zhǎng)度即為AP+BP的最小值．
（1）如圖2，在等邊三角形ABC中，AB=2，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，AD是高，在AD上找一點(diǎn)P，使BP+PE的值最�。�做法是：作點(diǎn)B關(guān)于AD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，恰好與點(diǎn)C重合，連接CE交AD于一點(diǎn)，這點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P，故BP+PE的最小值為

 

；
（2）如圖3，已知⊙O的直徑CD為2，

AC

的度數(shù)為60°，點(diǎn)B是

AC

的中點(diǎn)，在直徑CD上作出點(diǎn)P，使BP+AP的值最小，則BP+AP的最小值為

 

；
（3）如圖4，點(diǎn)P是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，BP=m，∠ABC=α，分別在邊AB、BC上作出點(diǎn)M、N，使△PMN的周長(zhǎng)最小，求出這個(gè)最小值（用含m、α的代數(shù)式表示）．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題,等腰三角形的性質(zhì),勾股定理,圓心角、弧、弦的關(guān)系,軸對(duì)稱(chēng)-最短路線問(wèn)題,銳角三角函數(shù)的定義

專(zhuān)題：綜合題

分析：（1）如圖2，只需利用等邊三角形的性質(zhì)及勾股定理就可求出CE的長(zhǎng)．
（2）過(guò)點(diǎn)B作直徑CD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′，由圓的對(duì)稱(chēng)性可知：點(diǎn)B′必在⊙O上．連接AB′，與CD的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P，線段AB′的長(zhǎng)度即為AP+BP的最小值．連接PB、OA、OB′，如圖3，根據(jù)條件可求出

AB′

的度數(shù)為90°，從而得到∠AOB′的度數(shù)也為90°，然后運(yùn)用勾股定理求出AB′的長(zhǎng)，就可解決問(wèn)題．
（3）分別作點(diǎn)P關(guān)于邊AB、BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E、F，連接EF，分別與邊AB、BC交于點(diǎn)M、N，連接PM、PN，如圖4，則線段EF的長(zhǎng)度即為△PMN的周長(zhǎng)的最小值．連接BE、BF，過(guò)B作BH⊥EF于H．由對(duì)稱(chēng)性可得：BE=BF=BP=m，∠EBF=2∠ABC=2α．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得：∠EBH=

1

2

∠EBF=α，EH=FH．然后在Rt△BEH中運(yùn)用三角函數(shù)就可求出EH，進(jìn)而求出EF，就可解決問(wèn)題．

解答：解：（1）如圖2，

∵△ABC是等邊三角形，點(diǎn)E為AB中點(diǎn)，AB=2，
∴AC=AB=2，AE=

1

2

AB=1，CE⊥AB．
∴CE=

AC2-AE2

=

3

．
故答案為：

3

．

（2）過(guò)點(diǎn)B作直徑CD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′，由圓的對(duì)稱(chēng)性可知：點(diǎn)B′必在⊙O上．
連接AB′，與CD的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P，線段AB′的長(zhǎng)度即為AP+BP的最小值．
連接PB、OA、OB′，如圖3，

∵點(diǎn)B與點(diǎn)B′關(guān)于CD的對(duì)稱(chēng)，
∴

CB′

=

CB

．
∵點(diǎn)B是

AC

的中點(diǎn)，

AC

的度數(shù)為60°，
∴

BC

的度數(shù)為30°．
∴

CB′

的度數(shù)為30°．
∴

AB′

的度數(shù)為90°．
∴∠AOB′=90°．
∵OA=OB′=

1

2

CD=

1

2

×2=1，
∴AB′=

2

．
故答案為：

2

．

（3）分別作點(diǎn)P關(guān)于邊AB、BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E、F，連接EF，分別與邊AB、BC交于點(diǎn)M、N，連接PM、PN，如圖4，

則線段EF的長(zhǎng)度即為△PMN的周長(zhǎng)的最小值．
連接BE、BF，過(guò)B作BH⊥EF于H．
∵點(diǎn)E與點(diǎn)P關(guān)于AB對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)F與點(diǎn)P關(guān)于BC對(duì)稱(chēng)，
∴∠EBA=∠PBA，∠FBC=∠PBC，BE=BF=BP=m．
∴∠EBF=2∠ABC=2α．
∵BE=BF，BH⊥EF，
∴∠EBH=

1

2

∠EBF=α，EH=FH．
在Rt△BEH中，
∵sinα=

EH

EB

，
∴EH=BE•sinα=m•sinα．
∴EF=2m•sinα．
∴△PMN周長(zhǎng)的最小值為2m•sinα．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了軸對(duì)稱(chēng)-最短路線問(wèn)題、圓弧與所對(duì)圓心角的度數(shù)關(guān)系、三角函數(shù)的定義、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，考查了知識(shí)的遷移能力，是一道好題．