Question

求方程x²+xy+y²=2010的正整數(shù)解．

Answer 1

考點(diǎn)：非一次不定方程（組）

專題：

分析：首先將方程x²+xy+y²=2010看做是關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)判別式中△≥0，再根據(jù)x為整數(shù)根，且是完全平方數(shù)，確定出y²的取值．解得y值，進(jìn)一步確定出x的值．

解答：解：可將原方程視為關(guān)于x的二次方程，將其變形為x²+yx+（y²-2010）=0．
由于該方程有整數(shù)根，則判別式△≥0，且是完全平方數(shù)．
由△=y²-4（y²-2010）=-3y²+8040≥0，
解得y²≤2680．

顯然，只有y²=16時(shí)，△=4是完全平方數(shù)，符合要求．
當(dāng)y=4時(shí)，原方程為x²+4x+3=0，此時(shí)x₁=-1，x₂=-3；
當(dāng)y=-4時(shí)，原方程為x²-4x+3=0，此時(shí)x₃=1，x₄=3．
所以，原方程的整數(shù)解為±1，±3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了非一次不定方程組，要將一個(gè)變量看做“不變量”，轉(zhuǎn)化為一元二次方程問題進(jìn)行解答．