Question

設(shè)n為自然數(shù)，方程x²+（n+1）x+n²=0的兩根為α_n、β_n，求：

1

(α2+1)(β2+1)

+

1

(α3+1)(β3+1)

+…+

1

(α20+1)(β20+1)

．

Answer 1

考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系

專題：

分析：先由根與系數(shù)的關(guān)系得出α_n+β_n=-（n+1），α_nβ_n=n²，那么

1

(αn+1)(βn+1)

=

1

αnβn+(αn+βn)+1

=

1

n2-(n+1)+1

=

1

n2-n

=

1

n-1

-

1

n

，再將

1

(αn+1)(βn+1)

=

1

n-1

-

1

n

代入所求式子，化簡即可求解．

解答：解：∵方程x²+（n+1）x+n²=0的兩根為α_n、β_n，
∴α_n+β_n=-（n+1），α_nβ_n=n²，
∴

1

(αn+1)(βn+1)

=

1

αnβn+(αn+βn)+1

=

1

n2-(n+1)+1

=

1

n2-n

=

1

n-1

-

1

n

，
∴原式=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

19

-

1

20

）
=1-

1

20

=

19

20

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．