Question

如圖，拋物線y=

1

2

x²+mx-

3

2

的對(duì)稱軸為直線x=1，直線y=kx+b與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)D（1，1），點(diǎn)B在y軸的左側(cè)，過(guò)點(diǎn)B作x軸的平行線交拋物線于點(diǎn)C，∠ABC=45°．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)及BC的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸方程x=1，可求出m的值，進(jìn)而可求出拋物線的解析式；
（2）BC平行于x軸，且∠ABC=45°，所以直線y=kx+b與x軸的正半軸或負(fù)半軸所成的角為45°，因而，直線y=kx+b與直線y=x或y=-x平行，即k=1或k=-1．
又直線y=kx+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)D（1，1），所以可求出直線的解析式，在分兩種情況分別討論不同情況下的直線解析式即可求出A和B的坐標(biāo)，進(jìn)而求出BC的長(zhǎng)．

解答：解：（1）據(jù)題意有-

m

2× 1 2

=1，
∴m=-1．
即拋物線的解析式為y=

1

2

x²-x-

3

2

．
（2）∵BC平行于x軸，且∠ABC=45°，
∴直線y=kx+b與x軸的正半軸或負(fù)半軸所成的角為45°．
因而，直線y=kx+b與直線y=x或y=-x平行．
即k=1或k=-1．
又∵直線y=kx+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)D（1，1），
∴1=1+b或1=-1+b，得b=0或b=2，
即直線y=kx+b的解析式為y=x或y=-x+2．
當(dāng)直線y=kx+b的解析式為y=x時(shí)（如圖1）
由x═

1

2

x²-x-

3

2

得x₁=2+

7

，x₂=2-

7

．
∵點(diǎn)B在y軸的左側(cè)，
∴A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（2+

7

，2+

7

），（2-

7

，2-

7

）．
此時(shí)，BC的長(zhǎng)為2[1-（2-

7

）]=2

7

-2．
當(dāng)直線y=kx+b的解析式為y=-x+2（如圖2）
由-x+2=

1

2

x²-x-

3

2

，得x₁=

7

，x₂=

7

．
∵點(diǎn)B在y軸的左側(cè)，
∴A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（

7

，-

7

+2）、（-

7

，

7

+2）．
此時(shí)，BC的長(zhǎng)為2[1-（-

7

）]=2

7

+2．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、一次函數(shù)的解析式確定、函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)的求法，同時(shí)考慮了分類討論的數(shù)學(xué)思想，難度較大．