Question

如圖1，在梯形ABCD中，AD∥BC，對(duì)角線AC⊥BC，AD=8cm，∠D=45°，BC=6cm．
（1）求cos∠B的值；
（2）點(diǎn)E為BC延長(zhǎng)線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F在線段CD上（點(diǎn)F與點(diǎn)C不重合），且滿足∠AFC=∠ADE，如圖2，設(shè)BE=x，DF=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；
（3）點(diǎn)E為射線BC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F在射線CD上，仍然滿足∠AFC=∠ADE，當(dāng)△AFD的面積為3cm²時(shí)，求BE的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題

專題：

分析：（1）要求cos∠B的值，由條件知道△ACB是直角三角形，然后 根據(jù)余弦定義就可以求出．
（2）要求函數(shù)的解析式，需要運(yùn)用∠AFC=∠ADE 尋找相似三角形，利用線段比來(lái)代換y與x之間的關(guān)系，找三角形相似是關(guān)鍵．
（3）要求BE的長(zhǎng)，點(diǎn)E存在兩種情況，再運(yùn)用（2）的相似結(jié)論，根據(jù)相似三角形的面積比得關(guān)系就可以求出BE的長(zhǎng)．

解答：解：（1）∵AD∥BC，
∴∠ACB=∠DAC．
∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°．
∴∠DAC=90°．
∵∠D=45°，
∴∠ACD=45°．
∴AD=AC．
∵AD=8cm，
∴AC=8cm．
∵BC=6cm，
∴AB=

AC2+BC2

=10cm．
∴cos∠B=

BC

AB

=

3

5

．

（2）∵AD∥BC，
∴∠ADF=∠DCE．     
∵∠AFC=∠FDA+∠FAD，∠ADE=∠FDA+∠EDC，
又∵∠AFC=∠ADE，
∴∠FAD=∠EDC．
∴△ADF∽△DCE．
∴

AD

CD

=

DF

CE

．
在Rt△ADC中，DC²=AD²+AC²，
∵AD=AC=8cm，
∴DC=8

2

cm．
∵BE=xcm，
∴CE=（x-6）cm．
又∵DF=ycm，
∴

8

8 2

=

y

x-6

．
∴y=

2

2

x-3

2

．
定義域?yàn)?＜x＜22．

（3）當(dāng)點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，由（2）可得：△ADF∽△DCE，
∴

S△ADF

S△DCE

=（

AD

DC

）²，
∵S_△AFD=3cm²，AD=8cm，DC=8

2

cm，
∴S_△DCE=6cm²．
∵S_△DCE=

1

2

×CE×AC，
∴

1

2

×（BE-6）×8=6，
∴BE=7.5cm．
如圖3，當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上，
由（2）△ADF∽△DCE，
∴

S△ADF

S△DCE

=（

AD

DC

）²，
∵S_△AFD=3cm²，AD=8cm，DC=8

2

cm，
∴S_△DCE=6cm²．
∴S_△DCE=

1

2

×（6-BE）×8=6．
∴BE=4.5cm．
所以BE的長(zhǎng)為7.5cm或4.5cm．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似形綜合題，涉及了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理、梯形、等腰三角形的性質(zhì)及解直角三角形等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)．