【題目】如圖,在直角梯形 AOBC 中,ACOB,且 OB6AC5,OA4

1)求 B、C 兩點的坐標;

2)以 OA、BC 中的三點為頂點可組成哪幾個不同的三角形?

3)是否在邊 AC BC(含端點)上分別存在點 M 和點 N,使得△MON 的面積最大時,它的周長還最短?若存在,說明理由,并求出這時點 M、N 的坐標;若不存在,為什么?

【答案】1B點坐標為:(60),C點坐標為:(5,4);(2)可組成的三角形為:△AOB,△AOC,△BOC,△ABC四個不同的三角形;(3)存在,M點坐標為:(3,4),N點坐標為:(6,0),理由見解析.

【解析】

1)根據OB=6,點B軸可得B點坐標,再利用平行線性質結合AC=5以及OA=4進一步得出點C坐標即可;

2)根據不在同一條直線上的三點可以組成一個三角形,得到以O、A、BC中的三點為頂點可組成4個不同的三角形,從而得出答案;

3)如圖,過點MMPOAON于點P,過點NNQOB,分別交OAMP于點Q、G,則△MON的面積=OMP的面積+NMP的面積=,據此進一步根據題意分析討論即可.

1)∵OB=6,,

B點坐標為:(60),

ACOB,AC=5,OA=4,

C點坐標為:(5,4);

2)以 OA、BC 中的三點為頂點可組成的三角形為:△AOB,△AOC,△BOC,△ABC四個不同的三角形;

3

如圖,過點MMPOAON于點P,過點NNQOB,分別交OA、MP于點Q、G,

則△MON的面積=OMP的面積+NMP的面積=,

MP≤OA,QN≤OB,

∴當點N與點B重合,點MAC上運動時,QN、MP同時取得最大值BO、OA

∴△MON的最大面積=,

∵點N與點B重合,

N點坐標為(6,0),

如圖1,設O點關于AC的對稱點為D,連接DBAC于點M,

此時△MON的面積最大,周長最短,

AMBO,

,

AM=3

M點坐標為(3,4),

∴存在點M與點N,使得△MON的面積最大時,其周長最短,此時M點坐標為:(3,4)N點坐標為:(6,0).

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(2)如圖2,當ABC=60°時,請判斷OEF的形狀,并說明理由;

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