【題目】(12分)菱形ABCD中,兩條對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,∠MON+∠BCD=180°,∠MON繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn),射線OM交邊BC于點(diǎn)E,射線ON交邊DC于點(diǎn)F,連接EF.
(1)如圖1,當(dāng)∠ABC=90°時(shí),△OEF的形狀是 ;
(2)如圖2,當(dāng)∠ABC=60°時(shí),請(qǐng)判斷△OEF的形狀,并說明理由;
(3)在(1)的條件下,將∠MON的頂點(diǎn)移到AO的中點(diǎn)O′處,∠MO′N繞點(diǎn)O′旋轉(zhuǎn),仍滿足∠MO′N+∠BCD=180°,射線O′M交直線BC于點(diǎn)E,射線O′N交直線CD于點(diǎn)F,當(dāng)BC=4,且時(shí),直接寫出線段CE的長(zhǎng).
【答案】(1)△OEF是等腰直角三角形;(2)△OEF是等邊三角形;(3)或.
【解析】
試題分析:(1)先證四邊形ABCD是正方形,得出∠EBO=∠FCO=45°,OB=OC,得出∠BOE=∠COF,進(jìn)一步得到△BOE≌△COF,從而得到結(jié)論;
(2)過O點(diǎn)作OG⊥BC于G,作OH⊥CD于H,根據(jù)菱形的性質(zhì)可得CA平分∠BCD,∠ABC+BCD=180°,求得OG=OH,∠BCD=120°,∠GOH=∠EOF=60°,進(jìn)一步得出∠EOG=∠FOH,得出△EOG≌△FOH,從而得到結(jié)論;
(3)過O點(diǎn)作OG⊥BC于G,作OH⊥CD于H,先求得四邊形O′GCH是正方形,從而求得GC=O′G=3,∠GO′H=90°,得到△EO′G ≌△FO′H全等,得到△O′EF是等腰直角三角形,根據(jù)已知求得等腰直角三角形的直角邊O′E的長(zhǎng),然后根據(jù)勾股定理求得EG,即可求得CE的長(zhǎng).
試題解析:(1)△OEF是等腰直角三角形;如圖1,∵菱形ABCD中,∠ABC=90°,∴四邊形ABCD是正方形,∴OB=OC,∠BOC=90°,∠BCD=90°,∠EBO=∠FCO=45°,∴∠BOE+∠COE=90°,∵∠MON+∠BCD=180°,∴∠MON=90°,∴∠COF+∠COE=90°,∴∠BOE=∠COF,在△BOE與△COF中,∵∠BOE=∠COF,OB=OC,∠EBO=∠FCO,∴△BOE≌△COF(ASA),∴OE=OF,∴△OEF是等腰直角三角形;
(2)△OEF是等邊三角形;如圖2,過O點(diǎn)作OG⊥BC于G,作OH⊥CD于H,∴∠OGE=∠OGC=∠OHC=90°,∵四邊形ABCD是菱形,∴CA平分∠BCD,∠ABC+BCD=180°,∴OG=OH,∠BCD=180°﹣60°=120°,∵∠GOH+∠OGC+∠BCD+∠OHC=360°,∴∠GOH+∠BCD=180°,∴∠MON+∠BCD=180°,∴∠GOH=∠EOF=60°,∵∠GOH=∠GOF+∠FOH,∠EOF=∠GOF+∠EOG,∴∠EOG=∠FOH,在△EOG與△FOH中,∵∠EOG=∠FOH,OG=OH,∠EGO=∠FHO,∴△EOG≌△FOH(ASA),∴OE=OF,∴△OEF是等邊三角形;
(3)如圖3,∵菱形ABCD中,∠ABC=90°,∴四邊形ABCD是正方形,∴,過O點(diǎn)作O′G⊥BC于G,作O′H⊥CD于H,∴∠O′GC=∠O′HC=∠BCD=90°,∴四邊形O′GCH是矩形,∴O′G∥AB,O′H∥AD,∴,∵AB=BC=CD=AD=4,∴O′G=O′H=3,∴四邊形O′GCH是正方形,∴GC=O′G=3,∠GO′H=90°,∵∠MO′N+∠BCD=180°,∴∠EO′F=90°,∴∠EO′F=∠GO′H=90°,∵∠GO′H=∠GO′F+∠FO′H,∠EO′F=∠GO′F+∠EO′G,∴∠EO′G=∠FO′H,在△EO′G與△FO′H中,∵∠EO′G=∠FO′H,O′G= O′H,∠EG O′=∠FH O′,∴△EO′G≌△FO′H(ASA),∴O′E=O′F,∴△O′EF是等腰直角三角形;∵S正方形ABCD=4×4=16,,∴S△O′EF=18,∵S△O′EF=,∴O′E=6,在RT△O′EG中,EG===,∴CE=CG+EG=.根據(jù)對(duì)稱性可知,當(dāng)∠M′ON′旋轉(zhuǎn)到如圖所示位置時(shí),CE′=E′G﹣CG=.
綜上可得,線段CE的長(zhǎng)為或.
年級(jí) | 高中課程 | 年級(jí) | 初中課程 |
高一 | 高一免費(fèi)課程推薦! | 初一 | 初一免費(fèi)課程推薦! |
高二 | 高二免費(fèi)課程推薦! | 初二 | 初二免費(fèi)課程推薦! |
高三 | 高三免費(fèi)課程推薦! | 初三 | 初三免費(fèi)課程推薦! |
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知如圖,直線AB交x軸于點(diǎn)A,交y軸于點(diǎn)B,AB=,tan∠BAO=3.
(1)求直線AB的解析式;
(2)直線y=kx+b經(jīng)過點(diǎn)B交x軸交于點(diǎn)C,且∠ABC=45°,AD⊥BC于點(diǎn)D.動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā),沿CB方向以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t,設(shè)△ADP的面積為S,求S與t的函數(shù)關(guān)系式,并直接寫出自變量t的取值范圍.
(3)在(2)的條件下,點(diǎn)P在線段BD上,點(diǎn)F在線段AB上,∠APC=∠FPB,連接AP,過點(diǎn)F作FG⊥AP于點(diǎn)G,交AD于點(diǎn)H,若DP=DH,求點(diǎn)P的坐標(biāo).
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,經(jīng)過點(diǎn)A的雙曲線y=(x>0)同時(shí)經(jīng)過點(diǎn)B,且點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè),點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為,∠AOB=∠OBA=45°,則k的值為 .
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=4,BA=5,點(diǎn)D是邊AC上的一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)D作DE∥AB交邊BC于點(diǎn)E,過點(diǎn)B作BF⊥BC交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,分別以DE,EF為對(duì)角線畫矩形CDGE和矩形HEBF,則在D從A到C的運(yùn)動(dòng)過程中,當(dāng)矩形CDGE和矩形HEBF的面積和最小時(shí),AD的長(zhǎng)度為______.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】商場(chǎng)某種新商品每件進(jìn)價(jià)是120元,在試銷期間發(fā)現(xiàn),當(dāng)每件商品售價(jià)為130元時(shí),每天可銷售70件,當(dāng)每件商品售價(jià)高于130元時(shí),每漲價(jià)1元,日銷售量就減少1件.據(jù)此規(guī)律,請(qǐng)回答:
(1)當(dāng)每件商品售價(jià)定為170元時(shí),每天可銷售多少件商品?商場(chǎng)獲得的日盈利是多少?
(2)在上述條件不變,商品銷售正常的情況下,每件商品的銷售價(jià)定為多少元時(shí),商場(chǎng)日盈利可達(dá)到1600元?
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn),∠APB=135 , BP=1,AP=,求PC的值( )
A. B. 3 C. D. 2
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】服裝柜在銷售中發(fā)現(xiàn)某品牌童裝平均每天可售出20件,每件盈利40元.為了迎接“六一”兒童節(jié),商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施,擴(kuò)大銷售量,增加盈利,減少庫(kù)存.經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),如果每件童裝每降價(jià)4元,那么平均每天就可多售出8件,要想平均每天在銷售這種童裝上盈利1200元,那么每件童裝應(yīng)降價(jià)多少元?
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在直角梯形 AOBC 中,AC∥OB,且 OB=6,AC=5,OA=4.
(1)求 B、C 兩點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)以 O、A、B、C 中的三點(diǎn)為頂點(diǎn)可組成哪幾個(gè)不同的三角形?
(3)是否在邊 AC 和 BC(含端點(diǎn))上分別存在點(diǎn) M 和點(diǎn) N,使得△MON 的面積最大時(shí),它的周長(zhǎng)還最短?若存在,說明理由,并求出這時(shí)點(diǎn) M、N 的坐標(biāo);若不存在,為什么?
查看答案和解析>>
百度致信 - 練習(xí)冊(cè)列表 - 試題列表
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報(bào)平臺(tái) | 網(wǎng)上有害信息舉報(bào)專區(qū) | 電信詐騙舉報(bào)專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報(bào)專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報(bào)專區(qū)
違法和不良信息舉報(bào)電話:027-86699610 舉報(bào)郵箱:58377363@163.com