Question

如圖，?ABCD的對角線AC的垂直平分線與AD，BC分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)．
求證：四邊形AECF是菱形．

Answer 1

考點(diǎn)：菱形的判定,全等三角形的判定與性質(zhì),平行四邊形的性質(zhì)

專題：證明題

分析：菱形的判別方法是說明一個(gè)四邊形為菱形的理論依據(jù)，常用三種方法：
①定義；
②四邊相等；
③對角線互相垂直平分．具體選擇哪種方法需要根據(jù)已知條件來確定．

解答：證明：方法一：∵AE∥FC．
∴∠EAC=∠FCA．
在△AOE與△COF中，

∠EAO=∠FCO AO=CO ∠AOE=∠COF

，
∴△AOE≌△COF（ASA）．
∴EO=FO，
∴四邊形AECF為平行四邊形，
又∵EF⊥AC，
∴四邊形AECF為菱形；

方法二：同方法一，證得△AOE≌△COF．
∴AE=CF．
∴四邊形AECF是平行四邊形．
又∵EF是AC的垂直平分線，
∴EA=EC，
∴四邊形AECF是菱形；

點(diǎn)評：考查了菱形的判定，本題利用了中垂線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形．