Question

（1）課本回顧
如圖1，用半徑R=3cm，r=2cm的鋼球測量口小內大的內孔的直徑D．測得鋼球頂點與孔口平面的距離分別為a=4cm，b=2cm，則內孔直徑D的大小為

 

．

（2）問題拓展
如圖2，在矩形ABCD內，已知⊙O₁與⊙O₂互相外切，且⊙O₁與邊AD、DC相切，⊙O₂與邊AB、BC相切．若AB=4，BC=3，⊙O₁與⊙O₂的半徑分別為r，R．求O₁O₂的值．
（3）靈活運用
如圖3，某市民廣場是半徑為60米，圓心角為90°的扇形AOB，廣場中兩個活動場所是圓心在OA、OB上，且與扇形OAB內切的半圓☉O₁、☉O₂，其余為花圃．若這兩個半圓相外切，試計算當兩半圓半徑之和為50米時活動場地的面積．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：

分析：（1）利用相切兩圓的性質得出AB=5cm，再利用已知得出BC的長，由勾股定理求出AC的長，即可得出EF的長；
（2）連接O₁、O₂，并分別過O₁、O₂作AB、BC的平行線，則O₁O₂²=O₁ E²+O₂E²，進而求出R+r的值即可；
（3）當兩圓半徑之和為50米時，有O₁O=60-r，O₂O=60-R，O₁O₂=50，則（60-r）²+（60-R）²=50²，即可得出R²+r²，進而利用圓的面積公式求出即可．

解答：解：（1）如圖1，
∵半徑R=3cm，r=2cm，a=4cm，b=2cm，
∴AB=5cm，BC=3+4-4=3（cm），
∴AC=4cm，
∴D=EF=AF+EC+AC=3+4+2=9（cm），
故答案為：9cm；                 

（2）如圖2，連接O₁、O₂，并分別過O₁、O₂作AB、BC的平行線．
則O₁O₂²=O₁ E²+O₂E²．
即（R+r）²=[4-（R+r）]²+[3-（R+r）]²
化簡得：（R+r）²-14（R+r）+25=0，
解得：O₁O₂=r+R=7-2

6

或7+2

6

（不合題意舍去）；

（3）當兩圓半徑之和為50米時，
有O₁O=60-r，O₂O=60-R，O₁O₂=50，
則（60-r）²+（60-R）²=50²．
即R²+r²-120（R+r）+4700=0．
∴R²+r²=1300．
∴活動場所面積=

1

2

πR²+

1

2

πr²=

1

2

π•1300=650π（平方米）．

點評：此題主要考查了相切兩圓的性質以及勾股定理和一元二次方程的解法等知識，利用相切兩圓的性質得出圓心距與兩圓半徑關系是解題關鍵．