Question

（1）如圖1，在△ADC中，P為△ADC內(nèi)一點(diǎn)，DP、CP分別平公∠ADC和∠ACD，如果∠A=60°，那么∠P=

 

°；如果∠A=90°，那么∠P=

 

°；如果∠A=x°，則∠P=

 

°；（用含x的代數(shù)式表示）
（2）如圖2，若將（1）中的△ADC改為四邊形ABCD，P為四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，DP、CP分別平分∠ADC和∠BCD，試探究∠P與∠A+∠B的數(shù)量關(guān)系，并寫出你的探索過程；
（3）如圖3，若將（1）中的△ADC改為五邊形ABCDE，其他條件不變，請(qǐng)直接寫出∠P與∠A+∠B+∠E的數(shù)量關(guān)系：

 

；
（4）如圖4，若將（1）中的△ADC改為六邊形ABCDEF，其他條件不變，請(qǐng)直接寫出∠P與∠A+∠B+∠E+∠F的數(shù)量關(guān)系：

 

；
（5）若將（1）中的△ADC改為n邊形A₁A₂A₃…A_n，P為n邊形A₁A₂A₃…A_n內(nèi)一點(diǎn)，PA₁平分∠A_nA₁A₂，PA₂平分∠A₁A₂A₃，請(qǐng)直接寫出∠P與∠A₃+A₄+A₅+…∠A_n的數(shù)量關(guān)系：

 

．（用含n的代數(shù)式表示）

Answer 1

考點(diǎn)：多邊形內(nèi)角與外角,三角形內(nèi)角和定理

專題：規(guī)律型

分析：（1）根據(jù)角平分線的定義可得∠PDC=

1

2

∠ADC，∠PCD=

1

2

∠ACD，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理列式整理即可得解；
（2）根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理表示出∠ADC+∠BCD，然后同理（1）解答即可；
（3）根據(jù)五邊形的內(nèi)角和公式表示出∠EDC+∠BCD，然后同理（1）解答即可；
（4）根據(jù)六邊形的內(nèi)角和公式表示出∠EDC+∠BCD，然后同理（1）解答即可；
（5）根據(jù)n邊形的內(nèi)角和公式表示出∠EDC+∠BCD，然后同理（1）解答即可．

解答：解：（1）∵DP、CP分別平分∠ADC和∠ACD，
∴∠PDC=

1

2

∠ADC，∠PCD=

1

2

∠ACD，
∴∠DPC=180°-∠PDC-∠PCD
=180°-

1

2

∠ADC-

1

2

∠ACD
=180°-

1

2

（∠ADC+∠ACD）
=180°-（180°-∠A）
=90°+

1

2

∠A，
∴如果∠A=60°，那么∠P=120°；如果∠A=90°，那么∠P=135°；如果∠A=x°，則∠P=（90+

x

2

）°；

（2）∵DP、CP分別平分∠ADC和∠BCD，
∴∠PDC=

1

2

∠ADC，∠PCD=

1

2

∠BCD，
∴∠DPC=180°-∠PDC-∠PCD
=180°-

1

2

∠ADC-

1

2

∠BCD
=180°-

1

2

（∠ADC+∠BCD）
=180°-

1

2

（360°-∠A-∠B）
=

1

2

（∠A+∠B）；

（3）五邊形ABCDEF的內(nèi)角和為：（5-2）•180°=540°，
∵DP、CP分別平分∠EDC和∠BCD，
∴∠P=

1

2

∠EDC，∠PCD=

1

2

∠BCD，
∴∠P=180°-∠PDC-∠PCD
=180°-

1

2

∠EDC-

1

2

∠BCD
=180°-

1

2

（∠EDC+∠BCD）
=180°-

1

2

（540°-∠A-∠B-∠E）
=

1

2

（∠A+∠B+∠E）-90°，
即∠P=

1

2

（∠A+∠B+∠E）-90°．

（4）六邊形ABCDEF的內(nèi)角和為：（6-2）•180°=720°，
∵DP、CP分別平分∠EDC和∠BCD，
∴∠PDC=

1

2

∠EDC，∠PCD=

1

2

∠BCD，
∴∠P=180°-∠PDC-∠PCD
=180°-

1

2

∠EDC-

1

2

∠BCD
=180°-

1

2

（∠EDC+∠BCD）
=180°-

1

2

（720°-∠A-∠B-∠E-∠F）
=

1

2

（∠A+∠B+∠E+∠F）-180°，
即∠P=

1

2

（∠A+∠B+∠E+∠F）-180°．

（5）同（1）可得，∠P=

1

2

（∠A₃+A₄+A₅+…∠A_n）-（n-4）×90°．
故答案為：120，135，（90+

x

2

）；

1

2

（∠A+∠B）；∠P=

1

2

（∠A+∠B+∠E）-90°；∠P=

1

2

（∠A+∠B+∠E+∠F）-180°；，∠P=

1

2

（∠A₃+A₄+A₅+…∠A_n）-（n-4）×90°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的外角性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，多邊形的內(nèi)角和公式，此類題目根據(jù)同一個(gè)解答思路求解是解題的關(guān)鍵．