(1)如圖1,在△ADC中,P為△ADC內(nèi)一點(diǎn),DP、CP分別平公∠ADC和∠ACD,如果∠A=60°,那么∠P=
 
°;如果∠A=90°,那么∠P=
 
°;如果∠A=x°,則∠P=
 
°;(用含x的代數(shù)式表示)
(2)如圖2,若將(1)中的△ADC改為四邊形ABCD,P為四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn),DP、CP分別平分∠ADC和∠BCD,試探究∠P與∠A+∠B的數(shù)量關(guān)系,并寫出你的探索過程;
(3)如圖3,若將(1)中的△ADC改為五邊形ABCDE,其他條件不變,請(qǐng)直接寫出∠P與∠A+∠B+∠E的數(shù)量關(guān)系:
 
;
(4)如圖4,若將(1)中的△ADC改為六邊形ABCDEF,其他條件不變,請(qǐng)直接寫出∠P與∠A+∠B+∠E+∠F的數(shù)量關(guān)系:
 
;
(5)若將(1)中的△ADC改為n邊形A1A2A3…An,P為n邊形A1A2A3…An內(nèi)一點(diǎn),PA1平分∠AnA1A2,PA2平分∠A1A2A3,請(qǐng)直接寫出∠P與∠A3+A4+A5+…∠An的數(shù)量關(guān)系:
 
.(用含n的代數(shù)式表示)
考點(diǎn):多邊形內(nèi)角與外角,三角形內(nèi)角和定理
專題:規(guī)律型
分析:(1)根據(jù)角平分線的定義可得∠PDC=
1
2
∠ADC,∠PCD=
1
2
∠ACD,然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理列式整理即可得解;
(2)根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理表示出∠ADC+∠BCD,然后同理(1)解答即可;
(3)根據(jù)五邊形的內(nèi)角和公式表示出∠EDC+∠BCD,然后同理(1)解答即可;
(4)根據(jù)六邊形的內(nèi)角和公式表示出∠EDC+∠BCD,然后同理(1)解答即可;
(5)根據(jù)n邊形的內(nèi)角和公式表示出∠EDC+∠BCD,然后同理(1)解答即可.
解答:解:(1)∵DP、CP分別平分∠ADC和∠ACD,
∴∠PDC=
1
2
∠ADC,∠PCD=
1
2
∠ACD,
∴∠DPC=180°-∠PDC-∠PCD
=180°-
1
2
∠ADC-
1
2
∠ACD
=180°-
1
2
(∠ADC+∠ACD)
=180°-(180°-∠A)
=90°+
1
2
∠A,
∴如果∠A=60°,那么∠P=120°;如果∠A=90°,那么∠P=135°;如果∠A=x°,則∠P=(90+
x
2
)°;

(2)∵DP、CP分別平分∠ADC和∠BCD,
∴∠PDC=
1
2
∠ADC,∠PCD=
1
2
∠BCD,
∴∠DPC=180°-∠PDC-∠PCD
=180°-
1
2
∠ADC-
1
2
∠BCD
=180°-
1
2
(∠ADC+∠BCD)
=180°-
1
2
(360°-∠A-∠B)
=
1
2
(∠A+∠B);

(3)五邊形ABCDEF的內(nèi)角和為:(5-2)•180°=540°,
∵DP、CP分別平分∠EDC和∠BCD,
∴∠P=
1
2
∠EDC,∠PCD=
1
2
∠BCD,
∴∠P=180°-∠PDC-∠PCD
=180°-
1
2
∠EDC-
1
2
∠BCD
=180°-
1
2
(∠EDC+∠BCD)
=180°-
1
2
(540°-∠A-∠B-∠E)
=
1
2
(∠A+∠B+∠E)-90°,
即∠P=
1
2
(∠A+∠B+∠E)-90°.

(4)六邊形ABCDEF的內(nèi)角和為:(6-2)•180°=720°,
∵DP、CP分別平分∠EDC和∠BCD,
∴∠PDC=
1
2
∠EDC,∠PCD=
1
2
∠BCD,
∴∠P=180°-∠PDC-∠PCD
=180°-
1
2
∠EDC-
1
2
∠BCD
=180°-
1
2
(∠EDC+∠BCD)
=180°-
1
2
(720°-∠A-∠B-∠E-∠F)
=
1
2
(∠A+∠B+∠E+∠F)-180°,
即∠P=
1
2
(∠A+∠B+∠E+∠F)-180°.

(5)同(1)可得,∠P=
1
2
(∠A3+A4+A5+…∠An)-(n-4)×90°.
故答案為:120,135,(90+
x
2
);
1
2
(∠A+∠B);∠P=
1
2
(∠A+∠B+∠E)-90°;∠P=
1
2
(∠A+∠B+∠E+∠F)-180°;,∠P=
1
2
(∠A3+A4+A5+…∠An)-(n-4)×90°.
點(diǎn)評(píng):本題考查了三角形的外角性質(zhì),三角形的內(nèi)角和定理,多邊形的內(nèi)角和公式,此類題目根據(jù)同一個(gè)解答思路求解是解題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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AF
FE
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5
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1
a
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10
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1
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6

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