Question

如圖，直角坐標(biāo)系內(nèi)的梯形AOBC，AC∥OB，AC、OB的長(zhǎng)分別是關(guān)于x的方程x²-6mx+m²+4=0的兩根，并且S_△AOC：S_△BOC=1：5．
（1）求AC、OB的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)BC⊥OC時(shí)，求OC的長(zhǎng)及OC所在的直線解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：（1）根據(jù)等高三角形的面積等于底邊比，可得出AC：OB=1：5，根據(jù)韋達(dá)定理得出AC、OB的和與積的值，然后聯(lián)立AC、OB的比例關(guān)系式可求出AC、OB的長(zhǎng)；
（2）本題要通過(guò)相似三角形求解，先得出△ACO∽△COB，根據(jù)相似三角形得出的OC²=AC•OB，可求出OC的長(zhǎng)，進(jìn)而可在直角三角形OAC中，求出OA的長(zhǎng)，繼而可得出點(diǎn)C的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法可求出OC所在直線的解析式；

解答：解：（1）∵AC、OB的長(zhǎng)分別是關(guān)于x的方程x²-6mx+m²+4=0的兩根，
∴AC+OB=6m，AC•OB=m²+4，
又∵S_△AOC：S_△BOC=1：5，
∴AC：0B=1：5，
綜上可得：

AC：OB=1：5 AC+OB=6m AC•OB=m2+4

，
解得：

AC=1 OB=5

．
即AC長(zhǎng)為1，OB長(zhǎng)為5．

（2）由題意得：BC⊥OC，則∠BC0=90°，
∵∠OCA=∠BOC（同角的余角相等），∠OAC=∠BC0=90°，
∴△ACO∽△COB，
∴

AC

CO

=

CO

OB

，
∴CO²=5，
在Rt△AOC中，OA=

OC2-AC2

=2，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，2），
設(shè)直線OC所在的直線解析式為y=kx，
將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入可得：2=k，
直線OC所在的直線解析式為y=2x．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)的綜合，涉及了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、勾股定理及一元二次方程的根，解答本題的關(guān)鍵是求出AC、OB的長(zhǎng)度，有一定難度．