【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,AC=2,E為斜邊AB的中點(diǎn),點(diǎn)P是射線BC上的一個動點(diǎn),連接AP、PE,將△AEP沿著邊PE折疊,折疊后得到△EPA′,當(dāng)折疊后△EPA′與△BEP的重疊部分的面積恰好為△ABP面積的四分之一,則此時BP的長為_____.
【答案】2或2
【解析】
根據(jù)30°角所對的直角邊等于斜邊的一半可求出AB,即可得到AE的值,然后根據(jù)勾股定理求出BC.①若PA'與AB交于點(diǎn)F,連接A'B,如圖1,易得S△EFPS△BEPS△A'EP,即可得到EFBE=BF,PFA'P=A'F.從而可得四邊形A'EPB是平行四邊形,即可得到BP=A'E,從而可求出BP;②若EA'與BC交于點(diǎn)G,連接AA',交EP與H,如圖2,同理可得GP=BG,EGEA'=1,根據(jù)三角形中位線定理可得AP=2=AC,此時點(diǎn)P與點(diǎn)C重合(BP=BC),從而可求出BP.
∵∠ACB=90°,∠B=30°,AC=2,E為斜邊AB的中點(diǎn),
∴AB=4,AEAB=2,BC=2.
①若PA'與AB交于點(diǎn)F,連接A'B,如圖1.
由折疊可得S△A'EP=S△AEP,A'E=AE=2.
∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn),
∴S△BEP=S△AEPS△ABP.
由題可得S△EFPS△ABP,
∴S△EFPS△BEPS△AEPS△A'EP,
∴EFBE=BF,PFA'P=A'F,
∴四邊形A'EPB是平行四邊形,
∴BP=A'E=2;
②若EA'與BC交于點(diǎn)G,連接AA',交EP與H,如圖2.
.
同理可得GPBP=BG,EGEA'2=1.
∵BE=AE,
∴EGAP=1,
∴AP=2=AC,
∴點(diǎn)P與點(diǎn)C重合,
∴BP=BC=2.
故答案為:2或2.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線y=ax2+bx+c開口向上,與x軸交于點(diǎn)A、B,與y軸交于點(diǎn)C
(1) 如圖1,若A (1,0)、C (0,3)且對稱軸為直線x=2,求拋物線的解析式
(2) 在(1)的條件下,如圖2,作點(diǎn)C關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點(diǎn)D,連接AD、BD,在拋物線上是否存在點(diǎn)P,使∠PAD=∠ADB,若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo),若不存在,請說明理由
(3) 若直線l:y=mx+n與拋物線有兩個交點(diǎn)M、N(M在N的左邊),Q為拋物線上一點(diǎn)(不與M、N重合),過點(diǎn)Q作QH平行于y軸交直線l于點(diǎn)H,求的值
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩人分別站在相距 6 米的 A , B 兩點(diǎn)練習(xí)打羽毛球,已知羽毛球飛行的路線為拋物線的一部分,甲在離地面 1 米的C 處發(fā)出一球,乙在離地面 1.5 米的 D 處成功擊球,球飛行過程中的最高點(diǎn) H 與甲的水平距離 AE 為 4 米,現(xiàn)以 A 為原點(diǎn),直線 AB 為 x 軸, 建立平面直角坐標(biāo)系(如圖所示).
(1)求羽毛球飛行的路線所在的拋物線的表達(dá)式;
(2)求羽毛球飛行的最高高度。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在等腰中,,點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn),連接,且,設(shè).
(1)如圖1,若,將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)至,連結(jié),易證為等邊三角形,則 , ;
(2)如圖2,若,則 , ;
(3)如圖3,試猜想和之間的數(shù)量關(guān)系,并給予證明.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)與一次函數(shù),令W=.
(1)若、的函數(shù)圖像交于x軸上的同一點(diǎn).
①求的值;
②當(dāng)為何值時,W的值最小,試求出該最小值;
(2)當(dāng)時,W隨x的增大而減小.
①求的取值范圍;
②求證: .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(2011山東濟(jì)南,27,9分)如圖,矩形OABC中,點(diǎn)O為原點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,8),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(6,0).拋物線經(jīng)過A、C兩點(diǎn),與AB邊交于點(diǎn)D.
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)點(diǎn)P為線段BC上一個動點(diǎn)(不與點(diǎn)C重合),點(diǎn)Q為線段AC上一個動點(diǎn),AQ=CP,連接PQ,設(shè)CP=m,△CPQ的面積為S.
①求S關(guān)于m的函數(shù)表達(dá)式,并求出m為何值時,S取得最大值;
②當(dāng)S最大時,在拋物線的對稱軸l上若存在點(diǎn)F,使△FDQ為直角三角形,請直接寫出所有符合條件的F的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】形如的函數(shù)稱為反比例函數(shù),我們定義,如果一次函數(shù)和反比例函數(shù)的系數(shù)a、b、c(abc≠0)滿足,則稱二次函數(shù)為一次函數(shù)函數(shù)y1和反比例函數(shù)y2的“調(diào)和二次函數(shù)”.
(1)試判斷一次函數(shù)反比例函數(shù)的“調(diào)和二次函數(shù)”是否存在,并說明理;
(2)若二次函數(shù) y3 m 1 x2 2mx 4 是某一次函數(shù)和反比例函數(shù)的“調(diào)和二次函數(shù)”,試求該一次函數(shù)的解析式.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了節(jié)省材料,某養(yǎng)殖戶利用墻 (墻足夠長)為一邊,用總長為80m的籬笆圍成了如圖所示的①②③三塊矩形區(qū)域養(yǎng)雞場,而且這三塊矩形區(qū)域的面積相等.若矩形區(qū)域ABCD的面積為300m2.求BC的長。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】自從湖南與歐洲的“湘歐快線”開通后,我省與歐洲各國經(jīng)貿(mào)往來日益頻繁,某歐洲客商準(zhǔn)備在湖南采購一批特色商品,經(jīng)調(diào)查,用16 000元采購A型商品的件數(shù)是用7 500元采購B型商品的件數(shù)的2倍,一件A型商品的進(jìn)價比一件B型商品的進(jìn)價多10元.
(1)求一件A,B型商品的進(jìn)價分別為多少元?
(2)若該歐洲客商購進(jìn)A,B型商品共250件進(jìn)行試銷,其中A型商品的件數(shù)不大于B型的件數(shù),且不小于80件,已知A型商品的售價為240元/件,B型商品的售價為220元/件,且全部售出.設(shè)購進(jìn)A型商品m件,求該客商銷售這批商品的利潤v與m之間的函數(shù)解析式,并寫出m的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,歐洲客商決定在試銷活動中每售出一件A型商品,就從一件A型商品的利潤中捐獻(xiàn)慈善資金a元,求該客商售完所有商品并捐獻(xiàn)慈善資金后獲得的最大收益.
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