Question

已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（5，0），點(diǎn)B是y軸正半軸上一動點(diǎn)，以O(shè)B，OA為邊作矩形OBCA，點(diǎn)E，H分別在邊BC和邊OA上，將△BOE沿著OE對折，使點(diǎn)B落在OC上的F點(diǎn)處，將△ACH沿著CH對折，使點(diǎn)A落在OC上的G點(diǎn)處．
（1）求證：四邊形OECH是平行四邊形；
（2）當(dāng)點(diǎn)B運(yùn)動到使得點(diǎn)F，G重合時(shí)，求點(diǎn)B的坐標(biāo)，并判斷四邊形OECH是什么四邊形？說明理由；
（3）當(dāng)點(diǎn)B運(yùn)動到使得點(diǎn)F，G將對角線OC三等分時(shí)，求點(diǎn)B的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專題：綜合題

分析：（1）如圖1，根據(jù)矩形的性質(zhì)得OB∥CA，BC∥OA，再利用平行線的性質(zhì)得∠BOC=∠OCA，然后根據(jù)折疊的性質(zhì)得到∠BOC=2∠EOC，∠OCA=2∠OCH，所以∠EOC=∠OCH，根據(jù)平行線的判定定理得OE∥CH，加上BC∥OA，于是可根據(jù)平行四邊形的判定方法得四邊形OECH是平行四邊形；
（2）如圖2，先根據(jù)折疊的性質(zhì)得∠EFO=∠EBO=90°，∠CFH=∠CAF=90°，由點(diǎn)F，G重合得到EH⊥OC，根據(jù)菱形的判定方法得到平行四邊形OECH是菱形，則EO=EC，所以∠EOC=∠ECO，而∠EOC=∠BOE，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可計(jì)算出∠EOB=∠EOC=∠ECO=30°，在Rt△OBC中，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得OB=

3

3

BC=

5 3

3

，于是得到點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，

5 3

3

）；
（3）分類討論：當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)O，G之間時(shí)，如圖3，根據(jù)折疊的性質(zhì)得OF=OB，CG=CA，則OF=CG，所以AC=OF=FG=GC，設(shè)AC=m，則OC=3m，在Rt△OAC中，根據(jù)勾股定理得m²+5²=（3m）²，解得m=

5

4

2

，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，

5

4

2

）；當(dāng)點(diǎn)G在O，F(xiàn)之間時(shí)，如圖4，同理可得OF=CG=AC，設(shè)OG=n，則AC=GC=2n，在Rt△OAC中，根據(jù)勾股定理得（2n）²+5²=（3n）²，解得n=

5

，則AC=OB=2

5

，所以點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，2

5

）．

解答：（1）證明：如圖1，
∵四邊形OBCA為矩形，
∴OB∥CA，BC∥OA，
∴∠BOC=∠OCA，
又∵△BOE沿著OE對折，使點(diǎn)B落在OC上的F點(diǎn)處；△ACH沿著CH對折，使點(diǎn)A落在OC上的G點(diǎn)處，
∴∠BOC=2∠EOC，∠OCA=2∠OCH，
∴∠EOC=∠OCH，
∴OE∥CH，
又∵BC∥OA，
∴四邊形OECH是平行四邊形；
（2）解：點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，

5 3

3

）；四邊形OECH是菱形．理由如下：如圖2，
∵△BOE沿著OE對折，使點(diǎn)B落在OC上的F點(diǎn)處；△ACH沿著CH對折，使點(diǎn)A落在OC上的G點(diǎn)處，
∴∠EFO=∠EBO=90°，∠CFH=∠CAF=90°，
∵點(diǎn)F，G重合，
∴EH⊥OC，
又∵四邊形OECH是平行四邊形，
∴平行四邊形OECH是菱形，
∴EO=EC，
∴∠EOC=∠ECO，
又∵∠EOC=∠BOE，
∴∠EOB=∠EOC=∠ECO=30°，
又∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是（5，0），
∴OA=5，
∴BC=5，
在Rt△OBC中，OB=

3

3

BC=

5 3

3

，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，

5 3

3

）；
（3）解：當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)O，G之間時(shí)，如圖3，
∵△BOE沿著OE對折，使點(diǎn)B落在OC上的F點(diǎn)處；△ACH沿著CH對折，使點(diǎn)A落在OC上的G點(diǎn)處，
∴OF=OB，CG=CA，
而OB=CA，
∴OF=CG，
∵點(diǎn)F，G將對角線OC三等分，
∴AC=OF=FG=GC，
設(shè)AC=m，則OC=3m，
在Rt△OAC中，OA=5，
∵AC²+OA²=OC²，
∴m²+5²=（3m）²，解得m=

5

4

2

，
∴OB=AC=

5 2

4

，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，

5

4

2

）；
當(dāng)點(diǎn)G在O，F(xiàn)之間時(shí)，如圖4，
同理可得OF=CG=AC，
設(shè)OG=n，則AC=GC=2n，
在Rt△OAC中，OA=5，
∵AC²+OA²=OC²，
∴（2n）²+5²=（3n）²，解得n=

5

，
∴AC=OB=2

5

，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，2

5

）．

點(diǎn)評：本題考查了四邊形的綜合題：熟練掌握矩形的性質(zhì)、平行四邊形和菱形的判定方法和折疊的性質(zhì)；理解坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)；會運(yùn)用勾股定理進(jìn)行幾何計(jì)算；能運(yùn)用分類討論的思想解決數(shù)學(xué)問題．