Question

如圖，已知正方形ABCD的邊長是2，點E在DC上，△ADE經順時針旋轉后與△ABF重合．
（1）指出旋轉的中心和旋轉的角度；
（2）如果連結EF，那么△AEF是怎樣的三角形？請說明理由；
（3）如果△ABF向右平移后與△DCH重合．
①請問平移的距離是多少？此時△DCH能否由△ADE直接旋轉得到？若能，請說出怎樣旋轉（指出旋轉的中心和旋轉的角度）；若不能，請說明理由；
②試說明AE⊥DH．

Answer 1

考點：旋轉的性質,正方形的性質

專題：

分析：（1）根據旋轉的定義，直接得出旋轉的中心和旋轉的角度；
（2）由（1）得到△ADE繞著點A逆時針旋轉90°后與△ABF重合，根據旋轉的性質得∠FAE=90°，AF=AE，由此可判斷△AEF是等腰直角三角形；
（3））①能，旋轉中心為正方形對角線的交點，逆時針旋轉90°（或逆時針旋轉270°）；
②根據平移的性質得AF∥DH，由（2）得AF⊥AE，所以AE⊥DH．

解答：解：（1）旋轉的中心是點A，旋轉的角度是90°；

（2）△AEF是等腰三角形．理由如下：
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，
∴△ADE繞點A順時針旋轉90°后與△ABF重合，
∴△ADE≌△ABF，
∴AE=AF．
又∵∠EAF=90°，
∴△AEF是等腰三角形；

（3）①平移的距離是2，此時△DCH能由△ADE直接旋轉得到，即將△ADE繞正方形ABCD的中心（即AC與BD的交點）順時針旋轉90°（或逆時針旋轉270°）與△DCH重合；
②∵△ABF向右平移后與△DCH重合，
∴AF∥DH，
∴∠AGD=∠EAF=90°，
∴AE⊥DH．

點評：本題考查了旋轉的性質：旋轉前后兩圖形全等；對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心的連線段的夾角等于旋轉角．也考查了正方形的性質、等腰直角三角形的判定和平移的性質．