【題目】如圖所示,(1)正方形ABCD及等腰Rt△AEF有公共頂點A,∠EAF=90°, 連接BE、DF.將Rt△AEF繞點A旋轉(zhuǎn),在旋轉(zhuǎn)過程中,BE、DF具有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系?結(jié)合圖(1)給予證明;
(2)將(1)中的正方形ABCD變?yōu)榫匦?/span>ABCD,等腰Rt△AEF變?yōu)?/span>Rt△AEF,且AD=kAB,AF=kAE,其他條件不變.(1)中的結(jié)論是否發(fā)生變化?結(jié)合圖(2)說明理由;
(3)將(2)中的矩形ABCD變?yōu)槠叫兴倪呅?/span>ABCD,將Rt△AEF變?yōu)?/span>△AEF,且∠BAD=∠EAF=,其他條件不變.(2)中的結(jié)論是否發(fā)生變化?結(jié)合圖(3),如果不變,直接寫出結(jié)論;如果變化,直接用k表示出線段BE、DF的數(shù)量關(guān)系,用表示出直線BE、DF形成的銳角.
【答案】(1)DF=BE且DF⊥BE,證明見解析;(2)數(shù)量關(guān)系改變,位置關(guān)系不變,即DF=kBE,DF⊥BE;(3)不改變.DF=kBE,β=180°-α
【解析】試題分析:(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的過程中線段的長度不變,得到AF=AE,又∠BAE與∠DAF都與∠BAF互余,所以∠BA E=∠DAF,所以△FAD≌△EAB,因此BE與DF相等,延長DF交BE于G,根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等和四邊形的內(nèi)角和等于360°求出∠EGF=90°,所以DF⊥BE;(2)等同(1)的方法,因為矩形的鄰邊不相等,但根據(jù)題意,可以得到對應(yīng)邊成比例,所以△FAD∽△EAB,所以DF=kBE,同理,根據(jù)相似三角形的對應(yīng)角相等和四邊形的內(nèi)角和等于360°求出∠EHF=90°,所以DF⊥BE;
(3)與(2)的證明方法相同,但根據(jù)相似三角形的對應(yīng)角相等和四邊形的內(nèi)角和等于360°求出∠EAF+∠EHF=180°,所以DF與BE的夾角β=180°-α.
試題解析:(1)DF與BE互相垂直且相等.
證明:延長DF分別交AB、BE于點P、G
在正方形ABCD和等腰直角△AEF中
AD=AB,AF=AE,
∠BAD=∠EAF=90°
∴∠FAD=∠EAB
∴△FAD≌△EAB(2分)
∴∠AFD=∠AEB,DF="BE"
∵∠AFD+∠AFG=180°,
∴∠AEG+∠AFG=180°,
∵∠EAF=90°,
∴DF⊥BE
(2)數(shù)量關(guān)系改變,位置關(guān)系不變.DF=kBE,DF⊥BE.
延長DF交EB于點H,
∵AD=kAB,AF="kAE"
∴,
∴
∵∠BAD=∠EAF="a"
∴∠FAD=∠EAB
∴△FAD∽△EAB
∴
∴DF="kBE"
∵△FAD∽△EAB,
∴∠AFD=∠AEB,
∵∠AFD+∠AFH=180°,
∴∠AEH+∠AFH=180°,
∵∠EAF=90°,
∴∠EHF=180°-90°=90°,
∴DF⊥BE
(3)不改變.DF=kBE,β=180°-a.
延長DF交EB的延長線于點H,
∵AD=kAB,AF="kAE"
∴,
∴
∵∠BAD=∠EAF="a"
∴∠FAD=∠EAB
∴△FAD∽△EAB
∴
∴DF=kBE
由△FAD∽△EAB得∠AFD=∠AEB
∵∠AFD+∠AFH=180°
∴∠AEB+∠AFH=180°
∵四邊形AEHF的內(nèi)角和為360°,
∴∠EAF+∠EHF=180°
∵∠EAF=α,∠EHF=β
∴a+β=180°∴β=180°-a
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【題目】前年,某大型工業(yè)企業(yè)落戶萬州,相關(guān)建設(shè)隨即展開.到去年年底,工程進入到設(shè)備安裝階段.在該企業(yè)的采購計劃中,有A、B、C三種生產(chǎn)設(shè)備.若購進3套A,7套B,1套丙,需資金63萬元;若購進4套A,10套B,1套丙,需資金84萬元.現(xiàn)在打算同時購進A、B、C各10套,共需資金___________________萬元.
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【題目】如果一個正比例函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)交于A(x1,y1),B(x2,y2),那么(x1-x2)(y1-y2)=____________.
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【題目】根據(jù)《廣州市初中學業(yè)水平考試體育與健康考試實施意見(征求意見稿)》,年的廣州市體育中考將要求考生在足球、排球、籃球三個項目中任選一項參加考試.某校數(shù)學興趣小組的同學為了解本校初一學生對足球、排球、籃球這三大球類運動項目的選考情況,抽取了部分學生進行調(diào)查,并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了兩幅不完整的統(tǒng)計圖,請你根據(jù)圖中信息解答下列問題:
(1)求此次抽樣調(diào)查的樣本容量;
(2)補全條形統(tǒng)計圖,并求扇形統(tǒng)計圖中“足球”部分的圓心角度數(shù);
(3)如果這所學校初一學生共人,請你估計該校初一有多少名學生選擇排球項目參加體育中考?
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【題目】(1)用“=”、“>”、“<”填空
; 6+3 ; ;7+7 ;
(2)由(1)中各式猜想a+b與的大小,并說明理由.
(3)請利用上述結(jié)論解決下面問題:
某同學在做一個面積為1800cm2,對角線互相垂直的四邊形風箏時,求用來做對角線的竹條至少要多少厘米?
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(2)若AB=4,求ABCD的面積.
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