Question

如圖，直線y=kx-1與x軸、y軸分別交于B、C兩點(diǎn)，且

OB

BC

=

1

2

．
（1）求B點(diǎn)坐標(biāo)和k的值；
（2）若點(diǎn)A（x，y）是第一象限內(nèi)的直線y=kx-1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)過程中，試寫出△AOB的面積S與x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△AOB的面積是

1

4

；當(dāng)S_△AOB=

1

4

時(shí)，求直線OA的解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：（1）可先求出OC長，并用k的代數(shù)式表示點(diǎn)B的坐標(biāo)及OB的長，然后在△BOC中運(yùn)用三角函數(shù)可求出∠OCB的度數(shù)，再運(yùn)用三角函數(shù)就可解決問題．
（2）過點(diǎn)A作AH⊥x軸于H，由于點(diǎn)A在直線y=kx-1上，因此可用x的代數(shù)式表示y，進(jìn)而可得到S與x的函數(shù)關(guān)系式．
（3）把S=

1

4

代入（2）中的解析式就可得到點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，進(jìn)而可得到點(diǎn)A的縱坐標(biāo)，然后運(yùn)用待定系數(shù)法就可求出直線OA的解析式．

解答：解：（1）在Rt△BOC中，
∵y_B=0，
∴kx_B-1=0．
∴x_B=

1

k

．
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（

1

k

，0），OB=

1

k

．
∵x_C=0，∴y_C=0-1=-1．
∴y_C=-1．∴OC=1．
∵sin∠OCB=

OB

BC

=

1

2

，
∴∠OCB=30°．
∴tan∠OCB=

OB

OC

=

3

3

．
∴OB=

3

3

OC．
∴

1

k

=

3

3

×1．
∴k=

3

．
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（

3

3

，0），k的值為

3

．

（2）過點(diǎn)A作AH⊥x軸于H，如圖．
則有AH=y=

3

x-1．x＞

3

3

．
∴S=

1

2

OB•AH=

1

2

×

3

3

×（

3

x-1）=

x

2

-

3

6

，（x＞

3

3

）．

（3）當(dāng)S_△AOB=

1

4

時(shí)，

x

2

-

3

6

=

1

4

．
解得；x=

2 3 +3

6

．
∴y=

3

x-1=

3

×

2 3 +3

6

-1=

3

2

．
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（

2 3 +3

6

，

3

2

）．
∴當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)（

2 3 +3

6

，

3

2

）的位置時(shí)，△AOB的面積是

1

4

．
設(shè)直線OA的解析式為y=mx，
則有

2 3 +3

6

m=

3

2

．
解得：m=6-3

3

．
∴直線OA的解析式為y=（6-3

3

）x．

點(diǎn)評：本題主要考查了直線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、特殊角的三角函數(shù)值、用待定系數(shù)法求直線的解析式、三角形的面積公式的等知識(shí)，屬于中檔題．