Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=mx²-2x與x軸正半軸交于點(diǎn)A，頂點(diǎn)為B．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示）；
（2）已知點(diǎn)C（0，-2），直線AC與BO相交于點(diǎn)D，與該拋物線對(duì)稱軸交于點(diǎn)E，且△OCD≌△BED，求m的值；
（3）在由（2）確定的拋物線上有一點(diǎn)N（n，-

5

3

），N在對(duì)稱軸的左側(cè)，點(diǎn)F，G在對(duì)稱軸上，F(xiàn)在G上方，且FG=1，當(dāng)四邊形ONGF的周長(zhǎng)最小時(shí)：
①求點(diǎn)F的坐標(biāo)；
②設(shè)點(diǎn)P在拋物線上，在y軸上是否存在點(diǎn)H，使以N，F(xiàn)，H，P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)H的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）利用配方法將一般式化為頂點(diǎn)式，即可求出頂點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)M．先由ME∥y軸，得出△AME∽△AOC，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等得出

ME

OC

=

AM

AO

=

1

2

，于是ME=

1

2

OC=1．再根據(jù)△OCD≌△BED，得到OC=BE=2，于是BM=BE+ME=3，即-

1

m

=-3，進(jìn)而求出m的值；
（3）由（2）得拋物線的解析式為y=

1

3

x²-2x，其對(duì)稱軸是x=3，A（6，0）．
①將N（n，-

5

3

）代入y=

1

3

x²-2x，求出n的值，得到N點(diǎn)坐標(biāo)．由于四邊形ONGF中，邊ON與FG為定值，所以當(dāng)NG+OF最小時(shí)，四邊形ONGF的周長(zhǎng)最�。�于是可將點(diǎn)N向上平移1個(gè)單位得到N′（1，-

2

3

），連結(jié)AN′，與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)F．在對(duì)稱軸上將點(diǎn)F向下平移1個(gè)單位得到點(diǎn)G，連結(jié)NG，OF，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知此時(shí)得到的四邊形ONGF的周長(zhǎng)最�。�運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線AN′的解析式，將x=3代入，求出y的值，進(jìn)而得到點(diǎn)F的坐標(biāo)；
②N（1，-

5

3

），F(xiàn)（3，-

2

5

），設(shè)H（0，y）．分兩種情況討論：
Ⅰ）當(dāng)NF為平行四邊形的邊時(shí)，
如果NFHP為平行四邊形，由點(diǎn)F向左平移3個(gè)單位橫坐標(biāo)為0，求得點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1-3=-2，將x=-2代入y=

1

3

x²-2x，
求出P點(diǎn)坐標(biāo)（-2，

16

3

），那么N點(diǎn)先向左平移3個(gè)單位，再向上平移

16

3

-（-

5

3

）=7個(gè)單位到點(diǎn)P，依此求出H點(diǎn)縱坐標(biāo)為-

2

5

+7=

33

5

，進(jìn)而得到H點(diǎn)坐標(biāo)為（0，

33

5

）；
如果NFPH為平行四邊形，同理求出H點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-

59

15

）；
Ⅱ）當(dāng)NF為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，先求出NF的中點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)H與P關(guān)于這個(gè)中點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱，求出H點(diǎn)坐標(biāo)為（0，

3

5

）．

解答：解：（1）∵y=mx²-2x=m（x-

1

m

）²-

1

m

，
∴頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（

1

m

，-

1

m

）；

（2）∵點(diǎn)C（0，-2），
∴OC=2．
設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)M．
∵M(jìn)E∥y軸，
∴△AME∽△AOC，
∴

ME

OC

=

AM

AO

=

1

2

，
∴ME=

1

2

OC=1．
∵△OCD≌△BED，
∴OC=BE=2，
∴BM=BE+ME=3，
∴-

1

m

=-3，
∴m=

1

3

；

（3）由（2）得拋物線的解析式為y=

1

3

x²-2x，其對(duì)稱軸是直線x=3，A（6，0）．
①∵點(diǎn)N（n，-

5

3

）在此拋物線上，
∴-

5

3

=

1

3

n²-2n，
解得n₁=1，n₂=5．
∵點(diǎn)N在對(duì)稱軸的左側(cè)，
∴n=1，
∴N（1，-

5

3

）．
將點(diǎn)N向上平移1個(gè)單位得到N′（1，-

2

3

），連結(jié)AN′，與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)F．在對(duì)稱軸上將點(diǎn)F向下平移1個(gè)單位得到點(diǎn)G，連結(jié)NG，OF，可知此時(shí)得到的四邊形ONGF的周長(zhǎng)最小（由N′F′+AF′＞AN′，可得NG′+OF′＞NG+OF）．
設(shè)直線AN′的解析式為y=kx+b，
把N′（1，-

2

3

），A（6，0）代入，
得

k+b=- 2 3 6k+b=0

，解得

k= 2 15 b=- 4 5

，
∴y=

2

15

x-

4

5

．
∵點(diǎn)F是AN′與對(duì)稱軸是直線x=3的交點(diǎn)，
∴F（3，-

2

5

）；

②N（1，-

5

3

），F(xiàn)（3，-

2

5

），設(shè)H（0，y）．
分兩種情況討論：
Ⅰ）當(dāng)NF為平行四邊形的邊時(shí)，F(xiàn)H∥NP，F(xiàn)H=NP．
如果NFHP為平行四邊形，
∵點(diǎn)F向左平移3個(gè)單位橫坐標(biāo)為0，
∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1-3=-2，
當(dāng)x=-2時(shí)，y=

1

3

x²-2x=

1

3

×（-2）²-2×（-2）=

16

3

，
∴P（-2，

16

3

），
∴N點(diǎn)先向左平移3個(gè)單位，再向上平移

16

3

-（-

5

3

）=7個(gè)單位到點(diǎn)P，
∴H點(diǎn)縱坐標(biāo)為-

2

5

+7=

33

5

，
∴H點(diǎn)坐標(biāo)為（0，

33

5

）；
如果NFPH為平行四邊形，
∵點(diǎn)N向左平移1個(gè)單位橫坐標(biāo)為0，
∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為3-1=2，
當(dāng)x=2時(shí)，y=

1

3

x²-2x=

1

3

×2²-2×2=-

8

3

，
∴P（2，-

8

3

），
∴F點(diǎn)先向左平移1個(gè)單位，再向下平移-

2

5

-（-

8

3

）=

34

15

個(gè)單位到點(diǎn)P，
∴H點(diǎn)縱坐標(biāo)為-

5

3

-

34

15

=-

59

15

，
∴H點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-

59

15

）；
Ⅱ）當(dāng)NF為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，
∵NF的中點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-

31

30

），
∴HP的中點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-

31

30

），
∵H（0，y），
∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為4，
當(dāng)x=4時(shí)，y=

1

3

x²-2x=

1

3

×4²-2×4=-

8

3

，
∴P（4，-

8

3

），
∴H點(diǎn)縱坐標(biāo)為2×（-

31

30

）-（-

8

3

）=

3

5

，
∴H點(diǎn)坐標(biāo)為（0，

3

5

）；
綜上所述，所求H點(diǎn)坐標(biāo)為（0，

33

5

）或（0，-

59

15

）或（0，

3

5

）．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)求法，相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，運(yùn)用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，有一定難度．運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類討論及方程思想是解題的關(guān)鍵．