Question

2．如圖，拋物線的頂點(diǎn)是（1，4），與y軸相交于點(diǎn)C（0，3）．
（1）求拋物線解析式及與x軸的交點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；
（2）連結(jié)BC，點(diǎn)F是拋物線在第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)點(diǎn)的橫坐標(biāo)是m，△BCF的面積是否存在最大值？若存在求出這個(gè)最大值，并求出F點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）連結(jié)AC，點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作直線l∥AC交拋物線于點(diǎn)Q．試探究：隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使以A、P、Q、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得A、B點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)圖形割補(bǔ)法，可得二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得最值，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得F點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）分類討論：①AP為平行四邊形的邊，根據(jù)函數(shù)值相等的兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，可得Q點(diǎn)坐標(biāo)；
②AP為平行四邊形的對(duì)角線，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可得關(guān)于x的方程，根據(jù)解方程，可得答案．

解答 解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-1）²+4，
將C點(diǎn)坐標(biāo)代入，得a+4=3．
解得a=-1，
拋物線的解析式為y=-（x-1）²+4，
當(dāng)y=0時(shí)，-（x-1）²+4=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）；
（2）如圖1，作FM⊥x軸交BC于P點(diǎn)，
BC的解析式為y=-x+3，P（m，-m+3），
F在拋物線上，設(shè)F（m，-m²+2m+3），
PF=-m²+2m+3-（-m+3）=-m²+3m，
S=S_△BCF=S_△BPF+S_CFP
=$\frac{1}{2}$PF•OM+$\frac{1}{2}$PF•BM
=$\frac{1}{2}$（-m²+3m）×3
=-$\frac{3}{2}$m²+$\frac{9}{2}$m，
當(dāng)m=$\frac{3}{2}$時(shí)，S_最大=$\frac{27}{8}$；
當(dāng)m=$\frac{3}{2}$時(shí)，-m²+2m+3=-$\frac{9}{4}$+3+3=$\frac{15}{4}$，
即F（$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$）；
（2）①如圖2，當(dāng)AP是平行四邊形的邊時(shí)，CQ∥AP，所以點(diǎn)C、Q關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，點(diǎn)Q₁的坐標(biāo)為（2，3）．
②如圖3，當(dāng)AP是平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，點(diǎn)C、Q分居x軸兩側(cè)，C、Q到x軸的距離相等．
解方程-x²+2x+3=-3，得$x=1±\sqrt{7}$．所以點(diǎn)Q₂的坐標(biāo)為（$1+\sqrt{7}，-3$）或Q₃ （$1-\sqrt{7}，-3$）．

綜上所述：Q₁（2，3），Q₂（$1+\sqrt{7}，-3$），Q₃（$1-\sqrt{7}，-3$）；

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系求圖象與x軸的交點(diǎn)；利用圖形割補(bǔ)法是求三角形面積的關(guān)鍵；利用平行四邊形的性質(zhì)得出關(guān)于Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)的方程是解題關(guān)鍵，要分類討論，以防遺漏．