Question

定義：若拋物線y=ax²+bx+c與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)和頂點(diǎn)構(gòu)成直角三角形，則稱這條拋物線為“直角拋物線”．
（1）拋物線y=x²-1

 

直角拋物線（填“是”或“不是”）；
（2）如圖，直角拋物線y=x²+4x+c與x軸交于點(diǎn)A、B（A在B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為P．
①求c的值；
②在x軸上是否存在點(diǎn)Q，使得以A、Q、C為頂點(diǎn)的三角形與△APB相似？若存在，
求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）觀察（1）、（2）中的拋物線解析式，試猜想：在直角拋物線y=ax²+bx+c（a＞0）中，b²-4ac是否為定值？若是，請直接寫出該定值．（不要求說理）

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)解析式得出圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)，進(jìn)而得出三角形形狀；
（2）①首先表示出AB的長，進(jìn)而得出P點(diǎn)坐標(biāo)，由AB²=（2PD）²=4PD²，即可得出c的值；
②（Ⅰ）當(dāng)∠AQC=90°，且QA=QC時(shí)，△AQC∽△APB，（Ⅱ）當(dāng)∠ACQ=90°，且CQ=CA時(shí)，進(jìn)而得出Q點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）利用（1）（2）進(jìn)而求出b²-4ac的值進(jìn)而得出答案．

解答：解：（1）∵拋物線y=x²-1，與x軸交于點(diǎn)（1，0），（-1，0），頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（0，-1），
∴三點(diǎn)構(gòu)成的三角形三邊為：

2

，

2

，2，
∵（

2

）²+（

2

）²=2²，
∴此三角形是直角三角形；
故答案為：是；

（2）①如圖1，作PD⊥x軸于D．
當(dāng)y=0時(shí)，x²+4x+c=0，
解得：x₁=-2+

4-c

，x₂=-2-

4-c

，
∴AB=x₁-x₂=2

4-c

，
∵y=x²+4x+c=（x+2）²+c-4，
∴P（-2，c-4），
∵4-c＞0，
∴c＜4，
∴PD=4-c．   
由拋物線的對稱性知，PA=PB．
∵PD⊥AB，
∴DA=DB，
∵∠APB=90°，∴∠APB=90°，
∴AB=2PD，
∴AB²=（2PD）²=4PD²，
∴4（4-c）=4（4-c）²．
∵4-c≠0，
∴4-c=1，
∴c=3．  

②由①知，A（-3，0），B（-1，0），C（0，3），
∴OC=OA=3．   
解法一：
∵△APB是等腰直角三角形，點(diǎn)Q在x軸上，

（Ⅰ）當(dāng)∠AQC=90°，且QA=QC時(shí)，△AQC∽△APB，
此時(shí)點(diǎn)Q與點(diǎn)O重合，
∴Q（0，0）．  
（Ⅱ）當(dāng)∠ACQ=90°，且CQ=CA時(shí)，
△ACQ∽△APB，
此時(shí)點(diǎn)Q與點(diǎn)A關(guān)于y軸對稱，
∴Q（3，0）．  
解法二：
∵∠CAO=∠BAP=45°，AP=

2

，AC=3

2

，
（Ⅰ）當(dāng)

AQ

AP

=

AC

AB

時(shí)，△AQC∽△APB，

∴

AQ

2

=

3 2

2

，
∴AQ=3，
∴Q（0，0），
（Ⅱ）當(dāng)

AQ

AB

=

AC

AP

時(shí)，
△ACQ∽△APB，
則

AQ

2

=

3 2

2

，
∴AQ=6，
∴Q（3，0）． 
綜上所述，在x軸上存在點(diǎn)Q （0，0）或（3，0），使得以A、Q、C為頂點(diǎn)的三角形與△APB相似．

（3）b²-4ac是定值，
∵y=x²-1中，b²-4ac=4，y=x²+4x+3中，b²-4ac=4，
∴在直角拋物線y=ax²+bx+c（a＞0）中，b²-4ac是定值，為4．

點(diǎn)評：此題主要考查了二次函數(shù)綜合以及勾股定理和相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，利用分類討論得出是解題關(guān)鍵．