【題目】定義:若一個三角形中,其中有一個內(nèi)角是另外一個內(nèi)角的一半,則這樣的三角形叫做“半角三角形”. 例如:等腰直角三角形就是“半角三角形”.在鈍角三角形中,,,,過點(diǎn)的直線交邊于點(diǎn).點(diǎn)在直線上,且.
(1)若,點(diǎn)在延長線上.
① 當(dāng),點(diǎn)恰好為中點(diǎn)時,依據(jù)題意補(bǔ)全圖1.請寫出圖中的一個“半角三角形”:_______;
② 如圖2,若,圖中是否存在“半角三角形”(△除外),若存在,請寫出圖中的“半角三角形”,并證明;若不存在,請說明理由;
(2)如圖3,若,保持的度數(shù)與(1)中②的結(jié)論相同,請直接寫出,, 滿足的數(shù)量關(guān)系:______.
【答案】(1)① 如圖,見解析;△或△或△或△; ②存在,“半角三角形”為△;證明見解析;(2)或.
【解析】
(1)①根據(jù)題干描述作出圖形即可,利用等腰三角形的性質(zhì),根據(jù)“一個內(nèi)角是另外一個內(nèi)角的一半”的三角形符合題意,可得出結(jié)果.②延長到,使得,連接,構(gòu)造全等三角形△≌△.再利用全等三角形的性質(zhì)以及相關(guān)角度的轉(zhuǎn)化,可求得,從而可得出結(jié)果.
(2)由(1)中②可知,,延長到點(diǎn),使得,連接BF,構(gòu)造全等三角形△≌△,進(jìn)而可得出.因?yàn)?/span>,所以以為圓心,長為半徑作圓與直線一定有兩個交點(diǎn),當(dāng)?shù)谝环N情況成立時,必定存在一個與它互補(bǔ)的,所以可得出另外一種情況.
(1)① 如圖,
圖中的一個 “半角三角形”:△或△或△或△;
② 存在,“半角三角形”為△.
延長到,使得,連接.
∵,
∴ .
∴ .
∵,
∴.
∴.
在△和△中,
∴ △≌△.
∴ ,.
∵ ,
∴ .
∴.
∴∠BAE=2∠BEA,
∴△ 為“半角三角形”.
(2)或.
解:①延長到點(diǎn),使得,連接BF,
∵,,
∴△≌△.
過點(diǎn)分別作于點(diǎn),
于點(diǎn),
可得.
∴.
②因?yàn)?/span>,所以以為圓心,長為半徑作圓與直線一定有兩個交點(diǎn),當(dāng)?shù)谝环N情況成立時,必定存在一個與它互補(bǔ)的.
可知:
綜上所述,這三個角之間的關(guān)系有兩種,
或.
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甲 | ||||||||||
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