Question

如圖，在?ABCD中，過點(diǎn)B作BE⊥CD，垂足為E，連接AE．F為AE上一點(diǎn)，且∠BFE=∠C．
（1）試說明：△ABF∽△EAD；
（2）若AB=4，BE=3，AD=3，求BF的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）可通過證明∠BAF=∠AED，∠AFB=∠D，證得△ABF∽△EAD；
（2）根據(jù)（1）的相似三角形可得出關(guān)于AB，AE，AD，BF的比例關(guān)系，有了AD，AB的長(zhǎng)，只需求出AE的長(zhǎng)即可．可在直角三角形ABE中用勾股定理求出AE的長(zhǎng)，這樣就能求出BF的長(zhǎng)了．

解答：（1）證明：在平行四邊形ABCD中，
∵∠D+∠C=180°，AB∥CD，
∴∠BAF=∠AED．
∵∠AFB+∠BFE=180°，∠D+∠C=180°，∠BFE=∠C，
∴∠AFB=∠D，
∴△ABF∽△EAD；

（2）解：∵BE⊥CD，AB∥CD，
∴BE⊥AB．
∴∠ABE=90°，AB=4，BE=3，
∴AE=5，
∵由（1）知，△ABF∽△EAD，
∴BF：AD=AB：AE．
∴BF=

12

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角形的判定和性質(zhì)，同時(shí)也用到了平行四邊形的性質(zhì)和等角的補(bǔ)角相等等知識(shí)點(diǎn)．