Question

4．如圖1，點(diǎn)O在線段AB上，AO=2，OB=1，OC為射線，且∠BOC=60°，動(dòng)點(diǎn)P以每秒2個(gè)單位長度的速度從點(diǎn)O出發(fā)，沿射線OC做勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）當(dāng)t=$\frac{1}{2}$秒時(shí)，則OP=1，S_△ABP=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$；
（2）當(dāng)△ABP是直角三角形時(shí)，求t的值；
（3）如圖2，當(dāng)AP=AB時(shí)，過點(diǎn)A作AQ∥BP，并使得∠QOP=∠B，求證：AQ•BP=3．為了證明AQ•BP=3，小華同學(xué)嘗試過O點(diǎn)作OE∥AP交BP于點(diǎn)E．試?yán)�用小華同學(xué)給我們的啟發(fā)補(bǔ)全圖形并證明AQ•BP=3．

Answer 1

分析 （1）作PH⊥AB于H，根據(jù)運(yùn)動(dòng)時(shí)間和速度求出OP的長，根據(jù)正弦的概念求出PH，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可；
（2）分∠ABP=90°和∠APB=90°兩種情況根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計(jì)算即可；
（3）根據(jù)題意補(bǔ)全圖形，根據(jù)平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)證明△QAO∽△OEP，得到AQ•EP=EO•AO，證明△OBE∽△ABP，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答即可．

解答 解：（1）作PH⊥AB于H，
∵動(dòng)點(diǎn)P以每秒2個(gè)單位長度的速度從點(diǎn)O出發(fā)，
∴當(dāng)t=$\frac{1}{2}$秒時(shí)，則OP=1，
∵∠BOC=60°，OP=1，
∴PH=OP×sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴S_△ABP=$\frac{1}{2}$×AB×PH=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
故答案為：1；$\frac{3\sqrt{3}}{4}$；
（2）①∵∠A＜∠BOC=60°，
∴∠A不可能是直角．
②如備用圖，當(dāng)∠ABP=90°時(shí)，
∵∠BOC=60°，
∴∠OPB=30°．
∴OP=2OB，即2t=2．
∴t=1；
③當(dāng)∠APB=90°，如圖1，
OP=2t，OH=t，PH=$\sqrt{3}$t，AH=2+t，HB=1-t，
∵∠APH+∠BPH=90°，∠B+∠BPH=90°，
∴∠APH=∠B．
∴△APH∽△PBH．
∴$\frac{AH}{PH}$=$\frac{PH}{BH}$，即$\frac{2+t}{\sqrt{3}t}$=$\frac{\sqrt{3}t}{1-t}$，
整理得4t²+t-2=0，
解得t₁=$\frac{-1+\sqrt{33}}{8}$，t₂=$\frac{-1-\sqrt{33}}{8}$（舍去）；
（3）補(bǔ)全圖形，如圖，
∵AP=AB，
∴∠APB=∠B．
∵OE∥AP，
∴∠OEB=∠APB=∠B．
∵AQ∥BP，
∴∠QAB+∠B=180°．
∵∠OEP+∠OEB=180°，
∴∠OEP=∠QAB．
又∵∠AOC=∠OPB+∠B=∠AOQ+∠QOP，
∵∠B=∠QOP，
∴∠AOQ=∠OPB．
∴△QAO∽△OEP．
∴$\frac{AQ}{EO}$=$\frac{AO}{EP}$，即AQ•EP=EO•AO．
∵OE∥AP，
∴△OBE∽△ABP．
∴$\frac{OE}{AP}$=$\frac{BE}{BP}$=$\frac{BO}{BA}$=$\frac{1}{3}$．
∴OE=$\frac{1}{3}$AP=1，BP=$\frac{3}{2}$EP．
∴AQ•BP=AQ•$\frac{3}{2}$EP=$\frac{3}{2}$AO•OE=$\frac{3}{2}$×2×1=3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線、掌握相關(guān)定理是解題的關(guān)鍵，注意分情況討論思想的應(yīng)用和解一元二次方程的一般步驟的熟練掌握．